Мега

Мега равен Круг(2) или ② в нотации Круга или Пятиугольник(2) в нотации Штайнхауса-Мозера.^[1] Это было определено Хьюго Штайнхаусом вместе с мегистоном в книге "Математические снимки". Мега также может быть определён рекурсивно как $m_{256}$ в последовательности, определяемой $m_0 = 256$ и $m_{n + 1} = m_n^{m_n}$ .

Штайнхаус показал, что оно равно Квадрат(256):

Пятиугольник(2) = Квадрат(Квадрат(2)) = Квадрат(Треугольник(Треугольник(2))) = Квадрат(Треугольник(4)) = Квадрат(256) = Треугольник²⁵⁶(256)

Используя общую нотацию, предложенное Сьюзан Степни, мега является:

$2[5] = 2[4][4] = 2[3]_2[4] = 2^{2}[3][4] = 4[3][4] = 4^{4}[4] = 256[4] = 256[3]_{256}$

Последние цифры[]

Последние 14 цифр, вычисленных программой Сбииса Сайбиана, равны ...93,539,660,742,656,^[2] но расчёты основаны на неправильном рассуждении, по существу объяснённом здесь.^[3] Далее Сайбиан вычислил последние 2048 цифр.^[4]

Кёдайсуу вычислил последние 10000 цифр.^[5]

Значения и приближения в других нотациях[]

Мэтт Хадельсон называет это число зельда.^[6] В его версии нотации Штайнхауса-Мозера это обозначается Треугольник(2).

Мега может быть выражен как M(2,3) в нотации гипер-Мозера^[7] или $2 \downarrow\downarrow\downarrow 259$ in нотации со стрелками вниз.

Мега может быть ограничен в стрелочной нотации как:

$10\uparrow\uparrow 257 < \text{Мега} < 10\uparrow\uparrow 258$ или $2\uparrow\uparrow 259 < \text{Мега} < 2\uparrow\uparrow 260$

Это может быть ограничено более точно в гипер E нотации как^[8]
$E(n)\#255 < \text{Мега} < E(n+1)\#255$
где n равно:

1992373902852015408770642294514701465291622352905945582973954623675744559282 9019852096549871643037231579555867729029727837739722687243833688041650758866703 0476849951479260448025007899692332294822776204288713616651146060865016213603106 3640924782250697929301283423560589245788736058378749277742479820628518236904246 9497447438158240050711323245053205431372163355524614258748270064178183600550138 7677455593157848328586388448694980546205210429141984557055851344372060645573231 6593773593160578638037837801826485742243275869674347763609175148326731059534829 2927018011128165226311150554708199087683524760666293693562405279021537

следовательно,

$E(619)\#256 < \text{Мега} < E(620)\#256$

Следовательно, он находится между гигголом и гигголплексом.

Мега в точности равен $m(3) m(2) m(1)(2)$ в m(n) карте, потому что

$m(1)(n)=n[3]$
$m(2)m(1)(n)=n[4]$
$m(2)^{p-3}m(1)(n)=n[p]$
$m(3)m(2)m(1)(n)=n[n+3]$
$m(3)m(2)m(1)(2)=2[5]$

Мега также в точности равен $2^{f_2^{257}(2)}$ используя быстрорастущую иерархию. Это связано с законами экспоненты: ${(2^n)}^{(2^{n})} = 2^{n \times 2^{n}} = 2^{f_2(n)}$ .

Пользователь англоязычной гугология вики Тетрамур указал, что мега может быть точно выражена через одну силовую башню как $256^{256^{m_{256}}}$ в последовательности $m_0=0$ и $m_{n+1} = 256^{m_{n}} + m_n$ .^[9] Поскольку в рекурсивной формуле есть два $m_n$ , размер выражения каждый раз удваивается. Следовательно, невозможно записать всю башню степеней целиком, поскольку она содержит не менее $2^{256}$ символов.