Медленнорастущая иерархия

Медленнорастущая иерархия (Slow-growing hierarchy, SGH, МРИ) - это определённая иерархия, отображающая ординалы $\alpha$ (ниже супремума $\mu$ фиксированной системы фундаментальных последовательностей) в функции $f_\alpha: {N} \rightarrow {N}$ . Как следует из названия, она растёт намного медленнее, чем её собратья быстрорастущая Иерархия и иерархия Харди.

По мнению гугологов, МРИ не так полезна, как БРИ. Она растёт медленнее всех порядковых иерархий, поэтому может наилучшим образом подходить для определения темпов роста функций, если основные последовательности заданы правильно. Однако было выдвинуто предположение, что это может быть полезно при создании быстрорастущих функций аналогично последовательностям Гудстейна.

Функции

Ниже приводится последнее сравнение между МРИ в отношении неопределенного выбора фундаментальных последовательностей и других гугологических обозначений. Обратите внимание, что следующий анализ сильно зависит от выбора очень специфических фундаментальных последовательностей и даст совершенно разные значения для разных фундаментальных последовательностей. Поэтому результаты могут быть неверными, когда кто-то пытается рассмотреть конкретную систему фундаментальных последовательностей.

До $\Gamma_{0}$

$g_0(n) = 0$

$g_1(n) = 1$

$g_2(n) = 2$

$g_m(n) = m$

$g_\omega(n) = n$

$g_{\omega+1}(n) = n+1$

$g_{\omega+2}(n) = n+2$

$g_{\omega+m}(n) = n+m$

$g_{\omega 2}(n) = 2n$

$g_{\omega 3}(n) = 3n$

$g_{\omega m}(n) = mn$

$g_{\omega^2}(n) = n^2$

$g_{\omega^3}(n) = n^3$

$g_{\omega^m}(n) = n^m$

$g_{\omega^\omega}(n) = n^n$

$g_{\omega^{\omega^\omega}}(n) = {n^{n^{n}}}$

$g_{\varepsilon_{0}}(n) = n \uparrow\uparrow n$ (Смотрите эспилон 0)

$g_{\varepsilon_{1}}(n) = n \uparrow\uparrow (2n)$

$g_{\varepsilon_{2}}(n) = n \uparrow\uparrow (3n)$

$g_{\varepsilon_{\omega}}(n) = n \uparrow\uparrow ((n + 1)n)$

$g_{\varepsilon_{\omega^{2}}}(n) \approx n \uparrow\uparrow (n^3)$

$g_{\varepsilon_{\omega^{3}}}(n) \approx n \uparrow\uparrow (n^4)$

$g_{\varepsilon_{\omega^{\omega}}}(n) \approx n \uparrow\uparrow (n^n)$

$g_{\varepsilon_{\varepsilon_{0}}}(n) \approx n \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow n)$

$g_{\zeta_0}(n)\approx n\uparrow\uparrow\uparrow (n+1)$

$g_{\varepsilon_{\zeta_{0+1}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow n$

$g_{\varepsilon_{\zeta_{0+2}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (2n)$

$g_{\varepsilon_{\zeta_{0 2}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow (n+1)$

$g_{\varepsilon_{\zeta_{0 3}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (2(n \uparrow\uparrow\uparrow n))$

$g_{\varepsilon_{\zeta_{0 4}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (3(n \uparrow\uparrow\uparrow n))$

$g_{\varepsilon_{\zeta_{0 \omega}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n(n \uparrow\uparrow\uparrow n))$

$g_{\varepsilon_{\zeta_{0}^2}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow ((n \uparrow\uparrow\uparrow n){^2})$

$g_{\varepsilon_{\zeta_{0}^{\zeta_{0}}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow ((n \uparrow\uparrow\uparrow n)^{n \uparrow\uparrow\uparrow n})$

$g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\zeta_{0+1}}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow ((n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow n)$

$g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\zeta_{0 2}}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow ((n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow n)) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow (n+2)$

$g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\zeta_{0+1}}}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow ((n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow ((n \uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow n))$

$g_{\zeta_{1}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow (2n)$

$g_{\zeta_{2}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow (3n)$

$g_{\zeta_{\omega}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow n^2$

$g_{\zeta_{\omega^\omega}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow n^n$

$g_{\zeta_{\varepsilon_{0}}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow n)$

$g_{\zeta_{\varepsilon_{\varepsilon_{0}}}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow n))$

$g_{\zeta_{\zeta_{0}}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow n)$

$g_{\zeta_{\zeta_{\zeta_{0}}}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow n))$

$g_{\eta_{0}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow (n+1)$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+1}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow n$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+2}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow 2n$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+\omega}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow n^2$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+\omega^{\omega}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow n^n$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+\varepsilon{0}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow n)$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+\varepsilon_{\varepsilon_{0}}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow n \uparrow\uparrow n)$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+\zeta{0}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow n)$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+\zeta{1}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow 2n)$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+\zeta{\omega}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow n^2)$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+\zeta{\omega^{\omega}}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow n^n)$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0}+\zeta{\zeta{0}}}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow n \uparrow\uparrow\uparrow n)$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0} 2}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n)$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0} 3}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow 2(n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n)$

$g_{\varepsilon_{\eta_{0} \omega}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow n-1(n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n)$

$g_{\zeta_{\eta_{0}+1}}(n) \approx (n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n) \uparrow\uparrow\uparrow n$

$g_{\varphi(4,0)}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow (n + 1)$

$g_{\varphi(5,0)}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow (n + 1)$

$g_{\varphi(\omega,0)}(n) \approx \{n,n+1,n+1\}$ в BEAF

$g_{\varphi(\omega^{\omega},0)}(n) \approx \{n,n,n^{n}+1\}$

$g_{\varphi(\varepsilon_{0},0)}(n) \approx \{n,n,n \uparrow\uparrow n+1\}$

$g_{\varphi(\zeta_{0},0)}(n) \approx \{n,n,n \uparrow\uparrow\uparrow n+1\}$

$g_{\varphi(\eta_{0},0)}(n) \approx \{n,n,n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n+1\}$

$g_{\varphi({\varphi(\omega,0)},0)}(n) \approx \{n,n,\{n,n,n+1\}+1\}$

$g_{\varphi({\varphi({\varphi(\omega,0)},0)},0)}(n) \approx \{n,n,\{n,n,\{n,n,n+1\}+1\}+1\}$

От $\Gamma_{0}$ до $\vartheta(\Omega^\omega)$

$g_{\Gamma_{0}}(n) = g_{\varphi(1,0,0)}(n) \approx \{n,n,1,2\}$

$g_{\varphi(\Gamma_{0},1)}(n) \approx \{n,n+1,1,2\}$

$g_{\varphi(\varphi(\Gamma_{0},1),0)}(n) \approx \{n,n+2,1,2\}$

$g_{\Gamma_{1}}(n) \approx \{n,2n,1,2\}$

$g_{\Gamma_{2}}(n) \approx \{n,3n,1,2\}$

$g_{\Gamma_{\omega}}(n) \approx \{n,(n+1)n,1,2\}$

$g_{\Gamma_{\omega^{2}}}(n) \approx \{n,(n^2+1)n,1,2\}$

$g_{\Gamma_{\omega^{\omega}}}(n) \approx \{n,(n^{n-1}+1)n,1,2\}$

$g_{\Gamma_{\omega^{\omega^{\omega}}}}(n) \approx \{n,(n^{n^{n}-1}+1)n,1,2\}$

$g_{\Gamma_{\varepsilon_{0}}}(n) \approx \{n,n \uparrow\uparrow n,1,2\}$

$g_{\Gamma_{\zeta_{0}}}(n) \approx \{n,n \uparrow\uparrow\uparrow n,1,2\}$

$g_{\Gamma_{\eta_{0}}}(n) \approx \{n,n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n,1,2\}$

$g_{\Gamma_{\varphi(\omega,0)}}(n) \approx \{n,\{n,n,n+1\},1,2\}$

$g_{\Gamma_{\Gamma_{0}}}(n) \approx \{n,\{n,n,1,2\},1,2\}$

$g_{\Gamma_{\Gamma_{\Gamma_{0}}}}(n) \approx \{n,\{n,\{n,n,1,2\},1,2\},1,2\}$

$g_{\varphi(1,1,0)}(n) \approx \{n,n,2,2\}$

$g_{\varphi(1,2,0)}(n) \approx \{n,n,3,2\}$

$g_{\varphi(1, \omega,0)}(n) \approx \{n,n,n,2\}$

$g_{\varphi(1, \Gamma_{0},0)}(n) \approx \{n,n,\{n,n,1,2\},2\}$

$g_{\varphi(1, \varphi(1, \Gamma_{0},0),0)}(n) \approx \{n,n,\{n,n,\{n,n,1,2\},2\},2\}$

$g_{\varphi(2,0,0)}(n) \approx \{n,n,1,3\}$

$g_{\varphi(3,0,0)}(n) \approx \{n,n,1,4\}$

$g_{\varphi(\omega,0,0)}(n) \approx \{n,n,1,n+1\}$

$g_{\varphi(\Gamma_{0},0,0)}(n) \approx \{n,n,1,\{n,n,1,2\}+1\}$

$g_{\varphi(1,0,0,0)}(n) \approx \{n,n,1,1,2\}$

$g_{\varphi(1,0,0,0,0)}(n) \approx \{n,n,1,1,1,2\}$

$g_{\varphi(1,0,0,0,0,0)}(n) \approx \{n,n,1,1,1,1,2\}$

От $\vartheta(\Omega^\omega)$ до $\vartheta(\Omega^{\Omega})$

$g_{\vartheta(\Omega^{\omega})}(n) \approx \{n,n+2 (1) 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\omega+1})}(n) \approx \{n,n+3 (1) 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\omega+m})}(n) \approx \{n,n+m+2 (1) 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\omega 2})}(n) \approx \{n,2n(1) 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\omega 3})}(n) \approx \{n,3n(1) 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\omega m})}(n) \approx \{n,m \times n(1) 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\omega^{2}})}(n) \approx \{n,n^2(1) 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\omega^{\omega}})}(n) \approx \{n,n^n(1) 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\varepsilon_{0}})}(n) \approx \{n,n \uparrow\uparrow n(1) 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Gamma_{0}})}(n) \approx \{n,\{n,n,1,2\}(1)2\}$

От $\vartheta(\Omega^{\Omega})$ до $\vartheta(\Omega^{\Omega^{\Omega}})$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega})}(n) \approx \{n,n,2(1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega}+1)}(n) \approx \{n,n,3(1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega}+m)}(n) \approx \{n,n,m+2(1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega}+\omega)}(n) \approx \{n,n,n+2(1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega}+\Omega)}(n) \approx \{n,n,1,2(1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega}+\Omega \omega)}(n) \approx \{n,n,n,n(1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega}+\Omega^m \omega)}(n) \approx \{n,m+3(1)3\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega}+\Omega^\omega)}(n) \approx \{n,n+3(1)3\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega} 2)}(n) \approx \{n,n,2(1)3\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega} 2+\Omega^\omega)}(n) \approx \{n,n+3(1)4\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega} m+ \Omega^{\omega})}(n) \approx \{n,n+3(1)m+1\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega} \omega)}(n) \approx \{n,n+3(1)n\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega + 1})}(n) \approx \{n,n+1(1)1,2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega + m})}(n) \approx \{n,n+1(1)\underbrace{1,1...1,1}_{m},2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega 2})}(n) \approx \{n,n+1(1)(1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega 2 + m})}(n) \approx \{n,n+1(1)(1)\underbrace{1,1...1,1}_{m},2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega 3})}(n) \approx \{n,n+1(1)(1)(1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega m})}(n) \approx \{n,n+1 \underbrace{(1)...(1)}_{m} 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega \omega})}(n) \approx \{n,n+1(2)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^2})}(n) \approx \{n,n,2(2)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^2}+\Omega^{\Omega \omega})}(n) \approx \{n,n+1(2)3\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^2}\omega)}(n) \approx \{n,n+1(2)n\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^2 + 1})}(n) \approx \{n,n(2)1,2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^2 + \omega})}(n) \approx \{n,n(2)(1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^2 + \Omega\omega})}(n) \approx \{n,n(2)(2)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^2\omega})}(n) \approx \{n,n+1(3)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^3})}(n) \approx \{n,n,2(3)2\}$

$g_{\vartheta ( \Omega^{ \Omega^{n-1} \omega})}(n) \approx \{n, n+1 (n) 2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^\omega})}(n) \approx \{n,n+1(0,1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^{\vartheta(\Omega^{\Omega^\omega})}})}(n) \approx \{n,\{n,n+1(0,1)2\}(0,1)2\}$

От $\vartheta(\Omega^{\Omega^{\Omega}})$ до $\vartheta(\varepsilon_{\Omega + 1})$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^\Omega})}(n) \approx \{n,n,2(0,1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^\Omega + \Omega^\omega})}(n) \approx \{n,n(0,1)1(0,1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^\Omega\omega})}(n) \approx \{n,n(1,1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^{\Omega + \omega}})}(n) \approx \{n,n(0,2)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^{\Omega \omega}})}(n) \approx \{n,n(0,0,1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^{\Omega^\omega}})}(n) \approx \{n,n((1)1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}})}(n) \approx \{n,n,2((1)1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega^\omega}}})}(n) \approx \{n,n((0,1)1)2\}$

$g_{\vartheta(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}}})}(n) \approx \{n,n,2((0,1)1)2\}$

$g_{\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1})}(n) \approx X \uparrow\uparrow X\ \&\ n$