Недостижимый кардинал

Недоступный кардинал — несчётный регулярный предел кардиналов. Наименьший недоступный кардинал иногда называют недоступным кардиналом $I$. Определение может отличаться в зависимости от того, соблюдается ли ОКГ. Существование этого числа невозможно доказать в рамках ТМЦФ.

Разбивая определение, (строго) недоступный кардинал $\alpha$ должен быть:

• Несчётным: $\alpha \geq \omega_1$.
• Обычным: $\alpha$ не может быть выражено как предел набора $S$ меньших ординалов, где тип порядка $S$ равен меньше, чем $\alpha$. Альтернативно это можно сформулировать как $\alpha=$ $\textrm{cof}$$(\alpha)$. С кардинальной точки зрения мы можем неофициально сказать, что его нельзя разделить на меньший набор меньших наборов.
• С сильным пределом: $\alpha = \beth_{\gamma}$ для предельного ординала $\gamma$, используя следующую иерархию бет-чисел:
  • $\beth_0 = \aleph_0$
  • $\beth_{\alpha + 1} = 2^{\beth_{\alpha}}$ (кардинальное возведение в степень)
  • $\beth_\alpha = \sup\{\beta < \alpha : \beth_\beta\}$

Для кардинала $\kappa$ "$\kappa$ является (сильным) предельным кардиналом" также эквивалентно тому, что "$\kappa$ замкнуто относительно отображения $\lambda \tau.2^\tau$ с доменом и кодоменом $\textrm{Card}$".

Если мы заменим "сильный предельный кардинал" на "(слабый) предельный кардинал", заменив "числа бет" на "числа алеф", мы получим "слабо недоступные кардиналы". Различие между сильно и слабо недоступными кардиналами имеет значение только в том случае, если мы не принимаем обобщённую континуум-гипотезу (ОКГ). В соответствии с ОКГ все предельные кардиналы являются сильными предельными кардиналами и могут называться просто предельными кардиналами.

Степени недоступности

Одно из определений 1-недоступности состоит в том, что кардинал $\kappa$ является 1-недоступным, если $\kappa$ недоступен и существует предел недоступных, кардинал $\kappa$, то есть $\kappa$-недоступный называется гипернедоступным, а кардинал $\kappa$, который является $\text{‟гипер”}^\kappa$-недоступным, называется богатонедоступным. Согласно этому определению, процесс продолжается, и недоступные кардиналы более высокого уровня можно назвать недоступными, глубоко недоступными, истинно недоступными, вечно недоступными, крайне недоступными и т. д.

Термин "$\alpha$-гипернедоступный" неоднозначен, и одно из его определений состоит в том, что для кардинального $\kappa$ и для $\beta<\alpha$ множества $\beta$-гипернедоступных кардиналов $<\kappa$ неограничены в $\kappa$.

Представление

$\alpha$-й слабодоступный элемент обычно обозначается либо $I_\alpha$ или $I(\alpha)$, однако Ратьен использует "0-недоступный" для обозначения "регулярности". Теперь мы можем использовать приведённые выше расширения: $I_\alpha(\beta)$ или $I(\alpha,\beta)$ — $1+\beta$-й $\alpha$-недоступный кардинал. Тогда первая гипернедоступная точка обозначается $I(1,0,0)$, и расширение работает аналогично функции Веблена. Такая система будет отмечать первую совершенно недоступную точку $I (1,0,0,0)$, первую глубоко недоступную точку $I (1,0,0,0,0)$ и так далее.

Свойства

Важным свойством недоступных кардиналов является то, что если $I : \Lambda \rightarrow \textrm{Ord}$ является перечислением недоступных кардиналов, где $\Lambda$ — либо $\textrm{Ord}$, либо ординал, $I$ не может быть непрерывным (т.е. $I(\alpha)=\textrm{sup}(\{I(\beta):\beta<\alpha\})$ не обязательно верно для всех ненулевых предельных ординалов $\alpha$). Действительно, если $\Lambda >\omega$, то $\textrm{sup} (\{I(\beta) : \beta<\omega\})$ имеет конфинальность $\omega$, и следовательно, не совпадает с $I(\omega)$. С другой стороны, если $\Lambda \leq\omega$, то оно непрерывно, поскольку ниже $\omega$.

Помимо ОКГ, если ТМЦФ последовательна, нельзя доказать существование в ней ни слабо, ни сильно недоступных кардиналов. Более сильная теория, такая как теория множеств Таркси-Гротендейка, может доказать их существование. ZFC + "существует слабо недоступный кардинал" считается непротиворечивым.

Хотя не существует стандартного представления о том, является ли данный кардинал "большим", некоторые считают, что первый недоступный кардинал (если он существует) $I$ является порогом для больших кардиналов. То есть все кардиналы меньше $I$ малы, а все кардиналы хотя бы $I$ в этом контексте большие.

Для $\alpha$-недоступного кардинала $\kappa$, $\forall\beta<\alpha : V_\kappa \vDash ( \text{ZFC+}\exists\text{A }\beta\text {-недоступный кардинал})$

Свёртывание функций с использованием недоступного кардинала

Недоступные кардиналы наиболее важны для гугологии посредством функций свёртывания ординала, таких как функция Ягера и ординальных нотаций, связанных с ними.

Относительно системы фундаментальных последовательностей, связанных с функцией Ягера, функция $\alpha \mapsto \psi_{I(1,0)}(\alpha)$ перечисляет фиксированные точки $\beta \text{ ↦ } \Omega_\beta$ для небольших входных данных. Следовательно, $\psi_{I(1,0)}(0)$ — наименьшая фиксированная точка омега, а $\psi_{I(1,0)}(1)$ — вторая наименьшая фиксированная точка омега.

Внешние ссылки

• Недоступный кардинал в Чердаке Кантора (нерабочая ссылка)
• Недоступный кардинал на википедии