Нормальная функция

В теории множеств нормальная функция — (определимая) функция $f\colon {\text{On}}\to {\text{On}}$, которая строго возрастает и непрерывна по Скотту, где $\text{On}$ обозначает класс ординалов. Некоторые авторы также называют функцию $f\colon\alpha\to\alpha$ для ординала $\alpha$ нормальной функцией, если она удовлетворяет аналогичным условиям, а некоторые также требуют $f(0)>0$. Когда мы подчёркиваем домен и кодомен, мы называем нормальную функцию в первом соглашении нормальной функцией для $\text{On}$, а нормальную функцию во втором соглашении нормальной функцией для $\alpha$.

Объяснение

Мы говорим, что $f$ строго возрастает, если из $\alpha < \beta$ следует, что $f(\alpha )<f(\beta )$ выполняется для любых ординалов $\alpha$ и $\beta$, и что $f$ является непрерывным по Скотту (или для краткости непрерывным), если $f(\alpha )=\sup\{f(\beta )\mid \beta <\alpha \}$ справедливо для любого предельного ординала $\alpha\neq 0$.

Тривиальным примером нормальной функции является тождественная функция $f(\alpha) = \alpha$. Менее тривиальные примеры включают такие функции, как $f(\alpha )=1+\alpha$ или $f(\alpha )=\omega ^{\alpha }$. Наиболее типичным примером ненормальной функции является функция-преемник $f(\alpha )=\alpha +1$.

Смотрите также

• Производная