Нотация массива Грэма

Нотация массива Грэма^[1] — гугологическая нотация, разработанная Антаресом Харрисоном. Она была разработана как нотация, способная выразить Число Грэма, поскольку последняя часть нотации предназначена для других гуголизмов.

Эта нотация^[2] была определена до тех пор, пока не будут определены операторные размерные массивы.

В основе этой нотации лежат нотация массива и BEAF.

Массивы[]

"Массивы" — это списки чисел. Примером может служить $[3,3,4,6,5]$ .

Массив, такой как BEAF, BAN или HAN, может быть многомерным или многострочным.

Основы[]

Во-первых, мы должны увидеть некоторые определения множеств.

1. @ означает массив.

2. # означает оператор.

3. m - это "Главный элемент".

4. c - это "Контроллер".

Теперь мы рассмотрим некоторые базовые правила.

1. Скобка по умолчанию — $[]$ . Массив должен находиться внутри $[]$ .
2. Если 1 является второй записью, то 1 и всё, что находится справа от него, обрезаются. [a,1,@] = [a].
3. Всё, что не является первой или второй записью, может быть удалено.
4. Пустая скобка $[]$ может быть удалена. (ЕСЛИ таковая имеется).
5. К нулям применимы те же правила, что и к единицам. (Да, мы рассматриваем нули как допустимую запись перед уничтожением).

Вот важное правило.

Пусть существует массив $[3!2,1,3!1,2]$ . Здесь мы должны вычислить знак @ перед вычислением знаков запятой.

BEAF определяет пилот как первую запись, не равную 1, после простого числа. Здесь все они обрезаны в самом начале. Итак, мы просто определим "m" как предпоследнюю запись в массиве. "Контроллер" - это последняя запись в массиве.

Пример: $[3,3,3,3,4,[ ],1!4]$ = $[3,3,3,3,4!4]$ = $[[3,3,3,3,4]!4]$

Простой линейный массив[]

Мы начнём с 4 или менее входных массивов

$[a] = a$
$[a, b]$ = a↑b
$[a,b,c]$ = a{c}b или a↑ $^c$ b (используя стрелки Кнута и BEAF)

BEAF начинает вырождать массивы с 4-х записей. Однако в нотации необходимо сохранить тёзку, поэтому мы начнём вырождение с 5 записей.

$[a,b,c,d]$ является довольно простой, вы начинаете a↑...↑b (c стрелок) и следующий шаг: a↑...↑b с "a↑...↑b (c стрелок)", и так d раз.

Итак, мы проведём несколько сравнений.

$[5] =$ 5
$[3,3,3] =$ Тритри
$[3,3,4,64] =$ Число Грэма
$[10,10,100,3] =$ Буголдуплекс
$[2,3,12,7] =$ Маленький Грэм
$[10,10] = 10,000,000,000$
$[10,100] =$ Гугол
$[10,[10, 100]] =$ Гуголплекс

TsarBlade утверждает, что эта нотация достигает лимита $1^{0}[n]$ в сверхсильной функции.

Расширенный линейный массив[]

[@,m,c]

Помните @ (Ну, которое массив)? А главный элемент (m) и контроллер (c)? Что ж, начнём с введения этого правила.

[@,m,c] = [@,m-1,[@,m,c-1]]

Последнее значение c преобразуется в тот же массив, с c, уменьшенным на 1. Основной массив m, просто уменьшается на 1.

Вот пример.

$[3,3,3,3,3] = [3,3,3,2,[3,3,3,3,2]]$

Будущие массивы[]

Хотя было заявлено, что система нотаций находится в стадии разработки, было сказано, что создатель в настоящее время работает над расширением системы нотаций на размерные массивы, тетрациональные массивы, пятизначные массивы, операторы, линейные размеры, вложенные размерные, скобки и этапы за пределами вложенных скобок.

Расширение от Выходника[]

Выходник расширяет нотацию, добавляя размерные массивы и скобки.

Размерный массив можно описать как "b массивов a":

b&a = $[a,a,a,a...a,a,a,a]$ , где a повторяется b раз.

Эта функция "диагонализирует" все, что мы делали до сих пор.

Массивы со скобками имеют уже существенное отличие:

$[a,b,c(d)e] = [[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]...[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c](d-1)e]$ , где $[a,b,c]$ повторяется c раз, а d уменьшается на 1. После этого аналогичное действие повторяется для d-1 и итога массивов $[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]...[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]$ , которые повторяются c раз. И так далее, пока значение в скобках не будет равно 1.

Для размерных массивов и массивов со скобками можно выделить следующие правила:

1. 1&a = $[a]$ = a.
2. $[a,b,c(1)d] = [a,b,c,d]$ .
3. 0&a = $[]$ = пустая скобка.
4. $[a,b,c(0)d]$ = $[d]$ = d.

Итак, приведём несколько примеров:

$[3,3,3(3)3]$ = $[[3,3,3],[3,3,3],[3,3,3](2)3]$
5&3 = $[3,3,3,3,3]$
3&3 = $[3,3,3]$ = Тритри
$[2,2(2)2] = [[2,2],[2,2](1)2] = [[2,2],[2,2],2] = [4,4,2] = 4\uparrow\uparrow 4 = {4^{4^{4^{4}}}} = {4^{\approx 1.3\cdot 10^{154}}}$
$[2,2(3)2] = [[2,2],[2,2](2)2] = [4,4(2)2] = [[4,4],[4,4],[4,4],[4,4](1)2] = [256,256,256,256(1)2]= [256,256,256,256,2]$ > $G(64)$
$[2,2(4)2] = [[2,2],[2,2](3)2] = [4,4(3)2] = [[4,4],[4,4],[4,4],[4,4](2)2] = [256,256,256,256(2)2]$ $= [\underbrace{[256,256,256,256], \cdots ,[256,256,256,256]}_{256},2]$ >>> $G(64)$
$[3,3(2)3] = [[3,3],[3,3],[3,3](1)3] = [27,27,27,3] = {27\uparrow^{27\uparrow^{27\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 27}27}27}$
$[3,3(3)3] = [[3,3],[3,3],[3,3](2)3] = [27,27,27(2)3] =$ $[[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],$ $[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],$ $[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],[27,27,27],3]$ >> $G(64)$