Визуализация
a
{
{
1
}
}
b
{\displaystyle a\{\{1\}\}b}
стрелочную нотацию Кнута.
Расширение — бинарная функция
a
{
{
1
}
}
b
=
a
{
a
{
⋯
{
a
}
⋯
}
a
}
a
{\displaystyle a \{\{1\}\} b = a \{a \{\cdots \{a\} \cdots\}a\}a}
a повторяется b раз от центра наружу.[ 1]
{
a
,
b
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{a,b,1,2\}}
BEAF и a {X+1}b в гиперэкспоненциальной записи X-последовательности . a {c }b означает {a ,b ,c }, что является a "c + 2"-ом до b с помощью оператора скобок.
Функция возможно доминирует над любым гипероператором , таким как тетрация , пентация или даже центация , а также вложенных гипероператоров.
Число Грэма определяется с помощью очень близкого варианта расширения. Это
3
{
{
1
}
}
65
{\displaystyle 3 \{\{1\}\} 65}
По доказательству Берда ,
a
{
{
1
}
}
b
>
a
→
a
→
(
b
−
1
)
→
2
{\displaystyle a \{\{1\}\} b > a \rightarrow a \rightarrow (b-1) \rightarrow 2}
цепной нотации стрел .
Примеры [ ]
2
{
{
1
}
}
2
{\displaystyle 2\ \{\{1\}\}\ 2}
2
{
{
1
}
}
3
=
2
{
2
{
2
}
2
}
2
=
2
{
4
}
2
=
2
{
3
}
2
=
2
{
2
}
2
=
2
{
1
}
2
=
4
{\displaystyle 2\ \{\{1\}\}\ 3 = 2\{2\{2\}2\}2 = 2\{4\}2 = 2\{3\}2 = 2\{2\}2 = 2\{1\}2 = 4}
Фактически, если основание равно 2, а простое число ≥ 2, то результатом всегда будет 4.
3
{
{
1
}
}
2
=
{
3
,
2
,
1
,
2
}
=
3
{
3
}
3
=
3
↑↑↑
3
{\displaystyle 3\ \{\{1\}\}\ 2 = \{3,2,1,2\} = 3 \{3\} 3 = 3\uparrow\uparrow\uparrow 3}
тритри )
a
{
{
1
}
}
2
=
{
a
,
2
,
1
,
2
}
=
a
{
a
}
a
=
a
↑↑
⋯
↑↑
⏟
a
a
{\displaystyle a\ \{\{1\}\}\ 2 = \{a,2,1,2\} = a \{a\} a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a}a}
3
{
{
1
}
}
3
=
{
3
,
3
,
1
,
2
}
=
3
{
3
{
3
}
3
}
3
=
3
{
тритри
}
3
=
3
↑↑
⋯
↑↑
⏟
тритри
3
{\displaystyle 3\ \{\{1\}\}\ 3=\{3,3,1,2\}=3\{3\{3\}3\}3=3\{{\text{тритри}}\}3=3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } _{\text{тритри}}3}
4
{
{
1
}
}
3
=
{
4
,
3
,
1
,
2
}
=
4
{
4
{
4
}
4
}
4
=
4
{
{\displaystyle 4\ \{\{1\}\}\ 3=\{4,3,1,2\}=4\{4\{4\}4\}4=4\{}
тритет
}
4
=
4
↑↑
⋯
↑↑
⏟
тритет
4
{\displaystyle \}4=4\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } _{\text{тритет}}4}
a
{
{
1
}
}
3
=
{
a
,
3
,
1
,
2
}
=
a
{
a
{
a
}
a
}
a
=
a
↑↑
⋯
↑↑
⏟
a
{
a
}
a
a
{\displaystyle a\ \{\{1\}\}\ 3 = \{a,3,1,2\} = a \{a \{a\} a\} a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a\{a\}a}a}
3
{
{
1
}
}
4
=
{
3
,
4
,
1
,
2
}
=
3
{
3
{
3
{
3
}
3
}
3
}
3
=
3
{
3
{
тритри
}
3
}
3
=
3
{
{
3
,
3
,
1
,
2
}
}
3
=
3
↑↑
⋯
↑↑
⏟
{
3
,
3
,
1
,
2
}
3
{\displaystyle 3\ \{\{1\}\}\ 4=\{3,4,1,2\}=3\{3\{3\{3\}3\}3\}3=3\{3\{{\text{тритри}}\}3\}3=3\{\ \{3,3,1,2\}\ \}3=3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } _{\{3,3,1,2\}}3}
3
↑
3
↑
3
↑
3
3
3
3
{\displaystyle 3\uparrow^{3\uparrow^{3\uparrow^33}3}3}
a
{
{
1
}
}
4
=
{
a
,
4
,
1
,
2
}
=
a
{
a
{
a
{
a
}
a
}
a
}
a
=
a
↑↑
⋯
↑↑
⏟
a
{
a
{
a
}
a
}
a
a
{\displaystyle a\ \{\{1\}\}\ 4 = \{a,4,1,2\} = a \{a \{a \{a\} a\} a \}a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a\{a\{a\}a\}a}a}
10
{
{
1
}
}
100
=
{
10
,
100
,
1
,
2
}
=
{
10
,
10
,
{
10
,
99
,
1
,
2
}
}
=
10
↑↑
⋯
↑↑
⏟
{
10
,
99
,
1
,
2
}
10
{\displaystyle 10 \{\{1\}\} 100 = \{10,100,1,2\} = \{10,10,\{10,99,1,2 \}\} = 10 \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{10,99,1,2 \} }10}
корпорал )
a
{
{
1
}
}
b
=
{
a
,
b
,
1
,
2
}
=
{
a
,
a
,
{
a
,
b
−
1
,
1
,
2
}
}
=
a
↑↑
⋯
↑↑
⏟
{
a
,
b
−
1
,
1
,
2
}
a
{\displaystyle a \{\{1\}\} b = \{a,b,1,2\} = \{a,a,\{a,b-1,1,2 \}\} = a \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{a,b-1,1,2\} }a}
Псевдокод [ ] Ниже приведён пример псевдокода для расширения.
function expansion(a , b ):
result := a
repeat b - 1 times :
result := hyper(a , a , result + 2)
return result
function hyper(a , b , n ):
if n = 1:
return a + b
result := a
repeat b - 1 times :
result := hyper(a , result , n - 1)
return result
Значения [ ]
Нотация
Значение (приблизительное)
Гипер E нотация
E
a
#
#
a
#
b
{\displaystyle \textrm Ea\#\#a\#b}
Цепная нотация стрел
a
→
a
→
b
→
2
{\displaystyle a \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow 2}
Гиперэкспоненциальная запись X-последовательности
a
{
X
+
1
}
b
{\displaystyle a \{X+1\} b}
Быстрорастущая иерархия
f
ω
+
1
(
b
)
{\displaystyle f_{\omega+1}(b)}
Иерархия Харди
H
ω
ω
+
1
(
b
)
{\displaystyle H_{\omega^{\omega+1}}(b)}
Медленнорастущая иерархия
g
Γ
0
(
b
)
{\displaystyle g_{\Gamma_0}(b)}
Примечания [ ] 
