Расширенная каскадная E нотация

Расширенная каскадная E нотация (xE^) — нотация Сбииса Сайбиана и самый последний компонент расширенной E-системы. Она распространяется на каскадную E-нотацию путём применения стрелочной нотации для гиперионов (#). Предел её скорости роста сопоставим с $f_{\varphi(\omega,0,0)}(n)$.

Расширенная E-система включает в себя xE^ и все последующие расширения.

Определение

Пусть Ea&a2& ... &an - любое выражение в xE^, где от a1 до an - n целых положительных чисел, а все & - гипер-продукты (которые могут быть различными, а могут и не быть). Каждый отдельный & может быть выбран из набора описанных разделителей.

Ниже приведены 5 формальных правил xE^. Пусть $\&_k$ - k-й гиперпродукт, а $L(\&_k)$ - последний каскадер k-го гиперпродукта.

• Правило 1. Базовое правило. Без гиперионов мы имеем $Ea = 10^a$.
• Правило 2. Правило декомпозиции. Если $L(\&_{n-1}) \neq \#^n$ (последний каскадер не имеет вида $\#^{n}$):

  $E$@$a \&b = E$@$a \&[b]a$ (@ указывает на неизмененный остаток выражения, а &[b] является основной последовательностью &)

• Правило 3. Правило завершения. Если последний аргумент равен 1, он может быть удалён: $E$@$a \& 1 = E$@$a$
• Правило 4. Правило расширения. $L(\&_{n-1}) = \#^n$ и $\&_k \neq \#$:

  $E$@$a \& * \# b = E$@$a \& a \& * \# b-1$.

• Правило 5. Правило рекурсии. В противном случае:

  $E$@$a \# b = E$@$(E$@$a \# (b-1))$

Кроме того, должен быть определён набор разделителей. Пусть & - набор допустимых разделителей в xE^. Набор определяется рекурсивно:

• I. # является элементом &
• II. Если a,b являются элементами &, то a*b является элементом &
• III. Если a,b являются элементами &, то (a)^^^...^^^^(b), где ^ повторяется n раз, является элементом &
• IV. Если a,b являются элементами &, а c является элементом &+, то (a)^^^... ^^^(b)>(c), где ^ повторяется n раз, является элементом & для n>1.
• V. Если a является элементом &, то a является элементом &+
• VI. Если a,b являются элементами &+, то a+b является элементом &+

Наконец, должны быть определены разложения разделителей. Разделитель & является разложимым (& является членом & разлагающегося) тогда и только тогда, когда $L(\&) \neq \#^n$.

Разложения определяются следующим образом: 

• Случай I. L= (α)^(β), где α,β ∈ &
  • A. Когда β = # :
    • IA1. &(α)^(#)[1] = & α
    • IA2. &(α)^(#)[n] = &α*(α)^(#)[n-1]
  • В. Когда β = ρ*# :
    • IB1. &(α)^(ρ*#)[1] = &(α)^(ρ)
    • IB2. &(α)^(ρ*#)[n] = &(α)^(ρ)*(α)^(ρ*#)[n-1]
  • C. Когда β ∈ & разлагающегося:
    • IC1. &(α)^(β)[n] = &(α)^(β[n])

• Случай II. L= (α)^..k..^(β) где α,β ∈ & и k>1
  • A. Когда β = #:
    • IIA1. &(α)^..k..^(#)[1] = & α
    • IIA2. &(α)^..k..^(#)[n] = &(α)^..k-1..^((α)^..k..^(#)[n-1])
  • В. Когда β = ρ*#:
    • IIB1. &(α)^..k..^(ρ*#)[1] = &(α)^..k..^(ρ)
    • IIB2. &(α)^..k..^(ρ*#)[n] = &(α)^..k..^(ρ)>(α^..k..^(ρ*#)[n-1])
  • C. Когда β ∈ & разлагающегося:
    • IIC1. &(α)^..k..^(β)[n] = &(α)^..k..^(β[n])

• Случай III. L= (α)^..k..^(β)>(γ) где α,β ∈ & ,γ ∈ &+ и k>1
  • A. Когда γ = #:
    • IIIA1. &(α)^..k..^(β)>(#)[1] = &(α)^..k..^(β)
    • IIIA2. &(α)^..k..^(β)>(#)[n] = &((α)^..k..^(β)>(#)[n-1])^..k..^(β)
  • B. Когда γ=ρ+#:
    • IIIB1. &(α)^..k..^(β)>(ρ+#)[1] = &((α)^..k..^(β)>(ρ))^..k..^(β)
    • IIIB2. &(α)^..k..^(β)>(ρ+#)[n] = &((α)^..k..^(β)>(ρ+#)[n-1])^..k..^(β)
  • С. Когда γ ∈ & разлагающегося:
    • IIIC1. (α)^..k..^(β)>(γ)[n] = (α)^..k..^(β)>(γ[n])
  • D. Когда γ=ρ+δ, где ρ ∈ &+ и δ ∈ & разлагающегося:
    • IIID1. (α)^..k..^(β)>(ρ+δ)[n] = (α)^..k..^(β)>(ρ+(δ[n]))
  • E. Когда γ=δ*# где δ ∈ &:
    • IIIE1. (α)^..k..^(β)>(δ*#)[1] = (α)^..k..^(β)>(δ)
    • IIIE2. (α)^..k..^(β)>(δ*#)[n] = (α)^..k..^(β)>(δ+δ*#)[n-1]
  • F. Когда γ =ρ+δ*#, где ρ ∈ &+ и δ ∈ &:
    • IIIF1. (α)^..k..^(β)>(ρ+δ*#)[1] = (α)^..k..^(β)>(ρ+δ)
    • IIIF2. (α)^..k..^(β)>(ρ+δ*#)[n] = (α)^..k..^(β)>(ρ+δ+δ*#)[n-1]