Умножация

Умножация (англ. Multiexpansion) — бинарная функция $a\{\{2\}\}b=\{a,b,2,2\}=\underbrace {a\{\{1\}\}a\{\{1\}\}\ldots \{\{1\}\}a\{\{1\}\}a} _{\text{b копий a}}$ в BEAF.

В быстрорастущей иерархии $f_{\omega +2}(n)$ сопоставима по скорости роста с умножацией, что означает, что умножация сопоставима с $a\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow 3$ в цепной нотации стрел и $(a\{3,3\}b)$ в нотации нотаций массива.

Примеры

• $\{a,3,2,2\}=a\{\{1\}\}a\{\{1\}\}a$. Это равно a, расширенной с (a, расширенной с a). Пусть $A=a\{a\{a...a\{a\{a\}a\}a...a\}a\}a(a\ a's)$, например, $\{a,3,2,2\}=a\{a...a\{a\}a...a\}a(A{\text{ копий }}a)$
• $\{3,2,2,2\}=3\{\{2\}\}2=3\{\{1\}\}3=\{3,3,1,2\}$
• $\{4,2,2,2\}=\{4,4,1,2\}$
• $\{3,3,2,2\}=3\{\{2\}\}3=3\{\{1\}\}3\{\{1\}\}3=\{3,\{3,3,1,2\},1,2\}$
• $\{6,4,2,2\}=6\{\{2\}\}4=6\{\{1\}\}6\{\{1\}\}6\{\{1\}\}6=\{6,\{6,\{6,6,1,2\},1,2\},1,2\}$
• $\{10,100,2,2\}=\{10,\{10,99,2,2\},1,2\}$ (мульпорал)

Псевдокод

Ниже приведён пример псевдокода для умножации.

function multiexpansion(a, b):
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := expansion(a, result)
    return result

function expansion(a, b):
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := hyper(a, a, result + 2)
    return result

function hyper(a, b, n):
    if n = 1:
        return a + b
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := hyper(a, result, n - 1)
    return result

Значения

Нотация	Значение (приблизительное)
Гипер E нотация	${\textrm {E}}a\#\#a\#a\#b$
Гиперэкспоненциальная запись X-последовательности	$a\{X+2\}b$ (точное значение)
Иерархия Харди	$H_{\omega ^{\omega +2}}(b)$
Медленнорастущая иерархия	$g_{\varphi (1,1,0)}(b)$