Универсум фон Неймана

Универсум фон Неймана, обычно обозначаемый ${\textrm {WF}}$, представляет собой собственный класс, определяемый как объединение иерархии $(V_{\alpha })_{\alpha \in {\textrm {On}}}$ множеств, называемых иерархией фон Неймана или кумулятивной иерархией, индексированной надлежащим классом $\textrm{On}$ ординалов. Мы обозначаем через $V$ надлежащий класс всех множеств. Поскольку равенство $V={\textrm {WF}}$ доказуемо в рамках достаточно сильной теории множеств, такой как теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, мы также естественным образом называем $V$ универсумом фон Неймана. Другими словами, универсум фон Неймана можно рассматривать как класс всех множеств. Обратите внимание, что сам по себе $V$ не является множеством, и, следовательно, это не противоречит тому факту, что не существует "множества всех множеств".

Иерархия

Для множества $X$ мы обозначаем через $\mathcal{P}(X)$ множество подмножеств $X$, также называемое множеством мощности $X$. Мы определяем иерархию множеств $(V_{\alpha })_{\alpha \in {\textrm {On}}}$ следующим трансфинитным индуктивным способом: ${\begin{matrix}V_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta })=\bigcup \{{\mathcal {P}}(V_{\beta })\mid \beta \in \alpha \}\end{matrix}}$

Тогда универсум фон Неймана ${\textrm {WF}}$ определяется как его объединение $\bigcup _{\alpha \in {\textrm {On}}}V_{\alpha }$.

По определению, для любого $x\in {\textrm {WF}}$ существует ординал $\alpha$ такой, что $x\in V_{\alpha }$, и обоснованность $({\textrm {On}},\in )$ влечёт существование минимума ${\textrm {rank}}(x)$ такого $\alpha$, который называется уровнем $x$. Присвоение уровня даёт отображение ${\textrm {WF}}\to {\textrm {On}}$. В теории множеств $\textrm{ZFC}$ равенство $V={\textrm {WF}}$ влечёт, что присвоение является отображением ${\text{уровень}}\colon V\to {\textrm {On}}$.

Уровень полезен, поскольку он позволяет нам преобразовать универсальную квантификацию $\forall x:P(x)$ для предиката $P(x)$ на множестве $x$ в универсальную квантификацию $\forall \alpha \in {\textrm {On}}:(\forall x:{\textrm {rank}}(x)=\alpha \rightarrow P(x))$ для предиката $\forall x:{\textrm {rank}}(x)=\alpha \rightarrow P(x)$ на ординале $\alpha$. Поэтому трансфинитная индукция на $({\textrm {On}},\in )$ влечёт трансфинитную индукцию на $(V,\in )$.

Примеры

Когда $\alpha =0=\emptyset$, то множество $\{{\mathcal {P}}(V_{\beta })\mid \beta \in \alpha \}$ является пустым, поскольку нет множества $\beta$, удовлетворяющего $\beta \in \alpha$, и, следовательно, мы имеем ${\begin{matrix}V_{0}=\bigcup \emptyset =\emptyset =\{\}.\end{matrix}}$ Когда $\alpha =1=\{0\}$, то множество $\{{\mathcal {P}}(V_{\beta })\mid \beta \in \alpha \}$ совпадает с одночленом $\{{\mathcal {P}}(V_{0})\}$, и, следовательно, мы имеем ${\begin{matrix}V_{1}=\bigcup \{{\mathcal {P}}(V_{0})\}={\mathcal {P}}(V_{0})={\mathcal {P}}(\{\})=\{\{\}\}=\{0\}=1.\end{matrix}}$ Когда $\alpha =2=\{0,1\}$, то множество $\{{\mathcal {P}}(V_{\beta })\mid \beta \in \alpha \}$ совпадает с парой $\{{\mathcal {P}}(V_{0}),{\mathcal {P}}(V_{1})\}$, и, следовательно, мы имеем ${\begin{matrix}&&V_{2}=\bigcup \{{\mathcal {P}}(V_{0}),{\mathcal {P}}(V_{1})\}={\mathcal {P}}(V_{0})\cup {\mathcal {P}}(V_{1})={\mathcal {P}}(\{\})\cup {\mathcal {P}}(\{\{\}\})\\&=&\{\{\},\{\{\}\}\}=\{0,1\}=2.\end{matrix}}$ Вообще говоря, имеем ${\mathcal {P}}(V_{\beta })\subsetneq {\mathcal {P}}(V_{\alpha })$ для любых ординалов $\beta<\alpha$, и, следовательно, $V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })$ для любого ординала $\alpha$. В частности, мы имеем ${\begin{matrix}V_{3}={\mathcal {P}}(V_{2})={\mathcal {P}}(\{\{\},\{\{\}\}\})=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\supsetneq \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}=3.\end{matrix}}$ Начиная с этого уровня, иерархия содержит много множеств, которые не являются ординалами.

Приложение

Иерархия фон Неймана часто используется для определения моделей теорий множеств. Например, если $\alpha$ — недоступный кардинал, то $V_\alpha$ образует модель ${\text{ТМЦФ с аксиомой выбора}}$. Из обоснованности логики первого порядка следует, что ${\text{ТМЦФ с аксиомой выбора}}$, дополненная существованием недоступного кардинала, доказывает формализованную непротиворечивость ${\text{Con}}({\text{ТМЦФ с аксиомой выбора}})$ самой ${\text{ТМЦФ с аксиомой выбора}}$. Следовательно, по теореме Гёделя о неполноте существование недоступного кардинала недоказуемо в рамках ${\text{ТМЦФ с аксиомой выбора}}$, пока она непротиворечива.