Функция расширяющегося массива Бауэрса (ФРМБ (на английском: BEAF, что очень похоже на beef - бифштекс, из-за чего в статье про BEAF на англоязычной гугология вики есть данное изображение)) — нотация для очень больших чисел, изобретённая Джонатаном Бауэрсом, аналогичная цепной нотации стрел, но гораздо более быстрорастущая. Это надмножество нотации массива и расширенной нотации массива, обе изобретены Бауэрсом.[1] Она стала довольно известной в гугологии благодаря своей простоте и скорости роста, не говоря уже об огромном массиве чисел с причудливыми именами, определяемых с помощью функции (таких как голапулус и легендарный меамеамеалоккапуа-умпа, одно из самых больших чисел Бауэрса). Однако согласованного определения для обозначения, приведённого выше, тетрациональных массивов не существует. Поэтому, строго говоря, они нечётко определены.
Хотя Крис Берд и Джон Спенсер (друг Бауэрса) помогали в создании BEAF, Бауэрсу обычно приписывают эту функцию исключительно.
Сбиис Сайбиан упомянул, что существование нотации, полностью удовлетворяющей правилам Бауэрса, является открытой проблемой в гугологии. Хотя он непосредственно упоминает только пятиугольные массивы, это, вероятно, относится и к другим уровням BEAF.[2]
Определения[]
Вот приблизительный набросок того, как это примерно должно работать. Как мы объясняли выше, не существует согласованного определения исходного BEAF за пределами тетрациональных массивов, и, следовательно, это не полное определение.
- База (b) - это первая запись в массиве.
- Простое число (p) - это вторая запись в массиве.
- Пилот - это первая запись, не относящаяся к 1, после основной. Это может быть уже третья запись.
- Второй пилот - это запись непосредственно перед пилотом. Второй пилот не существует, если пилот является первой записью в его строке.
- Структура - это часть массива, состоящая из группы нижнего измерения. Это может быть запись (записанная ), строка (записанная ), плоскость (), область () или поток (), не говоря уже о структурах более высокой размерности (, и т.д.) и тетрации других структурах, например . Мы также можем продолжить с пентационными, хексационными, ..., расширенными, ... структурами.
- Предыдущая запись - это запись, которая появляется перед запуском самолёта, но находится в той же строке, что и все остальные предыдущие записи. Предыдущая строка - это строка, которая находится перед строкой пилота, но находится в той же плоскости, что и все остальные предыдущие строки. Предыдущий самолёт - это самолёт, который находится перед самолётом пилота, но находится в той же области, что и все другие предыдущие самолёты, и т.д. Они называются предыдущими структурами.
- Простой блок структуры вычисляется путём замены всех экземпляров на . Например, если , то простым блоком является или куб с длиной стороны . Основным блоком структуры является , a - гиперкуб с длиной стороны .
- Самолёт включает в себя пилота, все предыдущие записи и основной блок всех предыдущих структур.
- Пассажиры - это записи в самолёте, которые не являются пилотом или вторым пилотом-испытателем.
- Значение массива обозначается , где A - это массив.
Правила[]
- Простое правило: Если , .
- Начальное правило: Если пилота нет, .
- Катастрофическое правило: Если ни 1, ни 2 не применяются, то:
- пилот уменьшается на 1,
- второй пилот становится исходным массивом с простым числом, уменьшенным на 1,
- каждое число становится "b",
- и остальная часть массива остаётся неизменной.
Типы массивов[]
Линейные массивы[]
Основная статья: Нотация массива
Линейные массивы - это самый маленький и простой тип массивов. Линейный массив состоит из одномерного ряда чисел, например . Несмотря на то, что они являются самыми маленькими из массивов BEAF, линейные массивы с более чем четырьмя элементами растут намного, намного быстрее, чем цепная нотация стрел (теорема, известная как Доказательство Берда). Позиции в линейном массиве могут быть описаны одним числом, например, четвёртой записью.
Размерные массивы[]
Основная статья: Расширенная нотация массива
Размерные массивы - это массивы, для представления которых требуется 2 или более измерений. Чтобы записать эти массивы в одну строку, необходимо использовать цифры в круглых скобках для обозначения разрывов в нескольких измерениях. (1) означает, что следующие числа находятся в следующем ряду, (2) означает следующую плоскость, (3) означает следующую область (3д-пространство), (4) означает следующую плоскость (4д-пространство) и так далее. Например, означает квадрат 3 на 3 из троек. Позиции в размерных массивах требуют представления в линейном массиве. Например, означает пятую запись на шестом уровне на восьмой планете во втором царстве. Эти структуры также можно назвать экспоненциальными массивами.
Тетрационные массивы[]
Тетрационные массивы - это массивы, для представления которых требуются тетрационные пространства. Они являются самой большой частью BEAF с согласованным определением в сообществе гугологии, и поэтому они, возможно, являются самой большой чётко определённой частью BEAF. Тетрационные пространства состоят из сверхмерного пространства, многомерного пространства, четырёхмерного пространства и т.д.
Сверхразмерные массивы состоят не только из размерных пространств, но и из размерных групп, размерных пространств групп, групп группировок, банд (следующий уровень структуры после группы) и т.д.
Позиции в сверхразмерных массивах требуют представления многомерных массивов, позиции в многомерных массивах требуют представления сверхразмерных массивов и т.д.
Пентационные массивы[]
В пентационных массивах степени сортируются по группам, например или , где X оценивается как 3. {} не должны решаться как обычные круглые скобки, а используются для группировки показателей степени в тетрационные блоки (поэтому, если простая запись изменится, тогда количество X или {X^...^X} в каждом блоке также будет изменено на начальную запись).
Пользователи англоязычной гугология вики Deedlit11[3] и Ikosarakt1[4] определили пентационные массивы методом не восхождения - каждый по-своему - и пришли к одним и тем же результатам, которые согласуются с началом этой работы Бауэрса, но оба имеют несоответствие с правилом "A&n имеет записи A(n)", и поэтому не могут считаться действительными попытками.
Большие не-легионарные массивы[]
Существуют массивы большего размера, такие как хексационные, хептационные, экспансионные, мультиэкспансионные, мощеэкспансионные, взрывные, мультивзрывные, детонационные и т.д. В конце концов, мы создаём действительно большой массив, пространство которого необходимо представить в виде массива (линейного, размерного, тетрационного и т.д.)
Джонатан Бауэрс комментирует эти массивы так: "Как с ними работать? - Одному Богу известно, - но они должны образовывать какие-то массивные массивы - и совершенно невообразимые числа при решении".
Deedlit11 также определил "стрелочные" массивы[5] (шестнадцатеричные, семнадцатеричные и другие, которые определены в терминах массивов Кнута), и они предположительно подтверждают результаты Бауэрса – но подтверждения этих результатов пока не существует.
Анализ[]
Даже низкоуровневый BEAF легко превосходит функцию Аккермана, стрелочную нотацию Дональда Кнута (расширением которой он является), цепную нотацию стрел Джона Конвей и гипер E нотацию Сбииса Сайбиана. BEAF имеет согласованное определение только до тетрационных массивов (которые находятся на ординальном уровне в быстрорастущей иерархии). Пользователь англоязычной гугология вики hyp cos провёл неофициальный анализ того, насколько быстрорастущим "должен" быть BEAF. Его можно найти здесь, здесь и здесь. Однако к этому анализу не следует относиться слишком серьёзно, поскольку он приписывает темпы роста плохо определённым частям BEAF.
Поскольку предполагается, что это вычислимая функция, BEAF естественным образом проигрывает , функцию , функции Райо и т.д. Однако, поскольку BEAF неформализован и существование его формализации остаётся важной открытой проблемой в гугологии, даже его вычислимость не имеет математического смысла.