BIG FOOT

BIG FOOT — аналог числа Райо, основанный на расширенной версии языка теории множеств первого порядка. В результате он считался одним из самых больших чисел, а также самым большим чётко определённым именованным числом. Однако BIG FOOT на самом деле является нечётко определённым числом по причине, объяснённой в одном из следующих разделов. Он был определён в октябре 2014 года автором под псевдонимом "Wojowu" или "LittlePeng9", и получил своё название от Сбииса Сайбиана.^[1]

Его определение почти идентично числу Райо, другому хорошо известному большому числу, которое диагонализуется по формулам первого порядка в универсуме фон Неймана (который является универсумом дискурса для теории множеств первого порядка). BIG FOOT расширяет теорию множеств первого порядка, используя уникальную область дискурса, называемую "Универсум удла", используя язык, называемый "теория множеств первого порядка" (FOST), и предполагалось, что он обобщит теорию множеств n-го порядка произвольно большого n.

Позволяя $FOOT(n)$ обозначать наибольшее натуральное число, однозначно определяемое на языке FOOT не более чем в $(n)$ символах, мы определяем BIG FOOT как ${FOOT}^{10}(10^{100})$ , где ${FOOT}^{a}({n})$ — ${FOOT}({n})$ , повторённый ${a}$ раз (рекурсия). BIG FOOT, таким образом, равен:

$FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(10^{100}))))))))))$

Определение FOOT[]

Язык теории удла первого порядка определяется как язык теории множеств, дополненный символами [ и ]. Универсум дискурса состоит из "удлов", которые подпадают под тарскианское определение истины для теории множеств. Мы называем ∈-транзитивные удлы "ординалами" и рассматриваем ∈ как отношение их упорядочения (так что мы можем говорить о "больших" и "меньших" удиналах).

Функция FOOT — аналог теории удла для функции Райо, где теория удла является расширением теории множеств.

Поскольку все задействованные структуры являются элементами универсума дискурса, FOOT оказался эквивалентен по мощности FOST с одним присоединенным (с предикатом истины).^[2]

Неопределённость[]

Основная проблема в определении BIG FOOT заключается в отсутствии точного разъяснения аксиом, отличных от аксиом экстенсивности и степенного множества. Чтобы определить невычислимое большое число, нам нужно зафиксировать, в соответствии с какими аксиомами мы его определяем, но Wojowu объяснил, что он предположил, что множество удовлетворяет всем свойствам, которые считаются "естественными" свойствами. В математике мы традиционно опускаем аксиомы только тогда, когда работаем в ТМЦФ. С другой стороны, поскольку в определении FOOT используется существование нескольких удиналов, что не следует из аксиом ТМЦФ, разумно предположить, что Wojowu предполагал более сильные аксиомы.

К сожалению, такая теория множеств противоречива. А именно, для любой теории множеств $T$ , расширяющей ТМЦФ, если FOOT чётко определён в $T$ , то $T$ противоречива. Следующее доказательство первоначально опубликовано пользователем англоязычной гугология вики p進大好きbot^[3]:

Предположим, что трансфинитный ординал $\alpha_0$ , в исходном определении формализован в $T$ определяющей формулой $\varphi(\alpha)$ со свободным вхождением переменного члена $\alpha$ . Тогда существование $\alpha_0$ , удовлетворяющего $\varphi(\alpha_0)$ гарантирует наличие $\beta < (\alpha_0)$ , удовлетворяющего $\varphi(\beta)$ по определению $\alpha_0$ . Под минимальностью $\alpha_0$ подразумевается $\alpha_0 = \beta < \alpha_0$ , что противоречит обоснованности $\alpha_0$ .

Даже если мы проигнорируем проблему, описанную выше, у нас есть другая проблема. Wojowu требовал, чтобы для любой формулы $\varphi(\alpha)$ со свободным вхождением переменного члена $\alpha$ , для любого $A \in V_{Ord}$ $\varphi(A)$ является истинным в $V$ тогда и только тогда, когда оно находится в $V_{Ord}$ . Это подразумевает, что для любой замкнутой формулы $\varphi$ , $V_{Ord} \models \varphi$ эквивалентно $\varphi$ . Пусть $\varphi$ обозначает существование $(\alpha_n)_{n < \omega}$ , что верно при $T$ по предположению. Тогда $V_{Ord}$ удовлетворяет $\varphi$ , и, следовательно, $,(\alpha_n^{V_{Ord}})_{n < \omega}$ , чётко определено. С другой стороны, $(\alpha_n^{V_{Ord}})$ удовлетворяет тому же свойству, что и $\alpha_0$ . Действительно, для любой формулы без параметров $\phi$ , $(\phi^{V_{Ord}})$ эквивалентно $phi$ при $T$ . Поскольку многие формулы, например $\beta \in \alpha$ , " $\alpha$ — множество", " $n$ — число формулы Гедёля" и так далее, является абсолютным по отношению к включению $V_{Ord} \hookrightarrow V$ , это подразумевает $\alpha_n^{V_{Ord}} = \alpha_n$ для любого $n<\omega$ . Мы получаем $Ord^{V_{Ord}} = Ord$ , что противоречит малости $Ord$ .

В заключение можно сказать, что FOOT и BIG FOOT плохо определены, и в частности, салатные числа, содержащие их.

Альтернативная формулировка[]

Как показано выше, первоначальное определение BIG FOOT противоречит разумным теориям множеств. Первая проблема заключается в нечёткости $\alpha_0$ , свойство отражения которого универсально количественно определяет (числа Гёделя) формулы $\varphi(\alpha)$ со свободным вхождением переменного члена $\alpha$ . С другой стороны, если мы рассмотрим теорию $T_0$ , заданную добавлением символа постоянного термина $a_0$ к языку теории удла первого порядка и схеме $a_0 \in \textrm{On} \land ((\exists \beta \in \textrm{On}, \Phi(\beta)) \to (\exists \beta < a_0, \Phi(\beta)))$ по формулам $\Phi(\alpha)$ со свободным вхождением переменного члена $\alpha$ в исходную неопределённую аксиому, вариант $\alpha_0$ определяется как $a_0$ в $T_0$ . Здесь $\textrm{On}$ обозначает класс удиналов. Хотя $a_0$ не формализует исходный $\alpha_0$ , он может играть аналогичную роль. Аналогично, вариант $a_n$ $\alpha_n$ определяется в теории $T_n$ , построенной аналогичным образом для любого метатеоретического натурального числа $n$ .

Здесь натуральное число в наименьшем общем расширении $T_ {\infty}$ башни $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ теории Удла первого порядка не обязательно равно метатеоретическому натуральному числу $n$ , т.е. натуральное число, определяющая формула которого синтаксически теоретически задана как " $n$ -я преемница из $0$ ". Следовательно, построение $a_n$ для каждого метатеоретического натурального числа $n$ не даёт чётко определённой последовательности $(a_n)_ {n \in \mathbb{N}}$ в $T_ {\infty}$ . Для того, чтобы построить вариант $\textrm{Ord}$ , нам нужны дополнительные аргументы.

Можно определить вариант BIG FOOT в таком направлении, но результирующее число будет полностью отличаться от оригинального BIG FOOT.

Смотрите также[]

Примечания[]

↑ Wojowu и Натан Хо. Теория удла первого порядка. snappizz.com. Получено 2014-11-11. ^[^{мёртвая ссылка]}
↑ "FOOT не так мощен, как я думал", блог пользователя англоязычной гугология вики LittlePeng9
↑ Смотрите оригинальный комментарий p進大好きbot к этому посту

[1] Wojowu и Натан Хо. Теория удла первого порядка. snappizz.com. Получено 2014-11-11. ^[^{мёртвая ссылка]}

[2] "FOOT не так мощен, как я думал", блог пользователя англоязычной гугология вики LittlePeng9

[3] Смотрите оригинальный комментарий p進大好きbot к этому посту

[1]

[2]

[3]