URsize, или, более неформально, URcardinal, представляет собой гипотетический размер определенного класса объектов, называемого ursets. Эти ursets образуют так называемое URverse, и для обозначения этого класса используется символ ж, а для обозначения его размера применяется ж#.
Определение[]
В определении рассматривается несколько ключевых понятий:
- Множество (Set) — это объект F, действие которого на любой другой объект x возвращает либо true, либо false. Если F(x) истинно, мы говорим, что "x является элементом F"; если ложно — "x не является элементом F". Это определение позволяет формализовать концепцию множеств.
- Пустое множество (Empty-Set, 0) — это множество, для которого функция 0(x) всегда возвращает ложь, тем самым не содержащая никаких элементов.
- Urelement (U) — это особый объект, для которого утверждения о том, является ли объект x элементом U или не является элементом U, бессмысленны для любого объекта x. Таким образом, urelement рассматриваются как отдельные объекты, которые не могут быть формализованы в терминах обычных множеств.
- Цепочка выбора (Selection-Chain) объекта A — это последовательность объектов, которая удовлетворяет нескольким условиям, среди которых важно, что с каждым последующим элементом связывается предыдущий элемент, а каждая позиция последовательности соответствует конечному ординалу.
- URclass (ж) — это объектный класс, экземпляры которого являются множествами так, что не существует цепочки выбора, начинающейся с данного множества и заканчивающейся urelement.
- URsize (ж#) — это потенциальное количество различных объектов, которые могут быть сгенерированы из класса URverse.
Потенциальный размер[]
Что касается потенциального размера, то, учитывая, что каждый ординал является объектом URverse, предполагается, что это потенциальное количество различных объектов должно быть по крайней мере абсолютно бесконечным. Однако, поскольку не все объекты URverse являются ординалами (так как ординалы не могут содержать сами себя), то множество, содержащее себя как элемент наряду с другими элементами, которые являются объектами URclass, не будет включать urelements. При этом существование множеств, которые могут включать себя как элементы, приводит к более сложным структурам.
Тем не менее, задача определения URsize и доказательства, что оно больше, чем абсолютно бесконечно, не решена. Необходимо было бы показать, что невозможно назначить каждому мыслимому объекту URclass уникальное значение некоторому ординалу, чтобы подтвердить, что URsize превышает пределы традиционной бесконечности. Это открывает двери для дальнейших исследований в области теории множеств и бесконечности.