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Grangol in zeroes

Grangol in towers

Grangol in E's

Grangol (short for "grand googol") is a number equal to a power tower of 100 tens topped with a 100.[1][2] It can be defined in Hyper-E Notation as E100#100 = EEE...EEE100 (100 E's) = 1010...10100 (100 tens). The term was coined by Sbiis Saibian. It is also equal to E2#101.

Grangol is comparable to 10 tetrated to 101, using hyper-operators.

This is a 1 followed by E100#99 zeros, or a googol-99-plex

Aarex Tiaokhiao calls this number powergol.[3]

Comparison with giggol

Grangol is close to and slightly larger than Jonathan Bowers' giggol = E1#100. It is comparable only from a googologist's perspective, however — it can be shown that:

\(\text{giggol}^{\text{giggol}}\)\( < \text{grangol}\)

so the two numbers are arithmetically extremely far apart. This concept is related to the power-tower paradox.

The proof is fairly straightforward. Since giggol = E1#100 and Ed#p = 10Ed#(p-1) it follows that:

\begin{eqnarray*} \text{giggol}^{\text{giggol}} &=& E1\#100^{E1\#100} = (10^{E1\#99})^{E1\#100} \\ &<& 10^{(E1\#100)^2} = 10^{10^{2E1\#99}} = E(2E1\#99)\#2 \\ &<& E(10E1\#99)\#2 = E(10\times10^{E1\#98})\#2 \\ &=& E(10^{1+E1\#98})\#2 = E(1+E1\#98)\#3 \\ &<& E(1+E1\#97)\#4 < \cdots < E(1+E1\#1)\#100 \\ &=& E(1+E1)\#100 = E11\#100 \\ &<& E100\#100 = \text{grangol} \end{eqnarray*}

Therefore, giggolgiggol can be given the following lower and upper bound:

\[E10\#100 < \text{giggol}^{\text{giggol}} < E11\#100\]


Approximations in other notations

Notation Approximation
Up-arrow notation \(10 \uparrow\uparrow 101\)
Chained arrow notation \(10 \rightarrow 101 \rightarrow 2\)
BEAF \(\{10,101,2\}\)
Cascading-E notation E100#^#1
Hyperfactorial array notation \(104!1\)
Strong array notation \(s(10,101,2)\)
Nested factorial notation \(100![2]\)
Fast-growing hierarchy \(f_3(100)\)
Hardy hierarchy \(H_{\omega^3}(100)\)
Slow-growing hierarchy \(g_{\varepsilon_0}(101)\)

Sources

See also

Greagol — Gugold
Greagol—gigangol series: greagol · greagolgong · googolthrex · ecetonthrex · tria-petaxis · greagolthrex · greagolthrexigong · ecetonduthrex · tetra-petaxis · greagolduthrex · greagolduthrexigong · penta-petaxis · hexa-petaxis · hepta-petaxis · octa-petaxis · enna-petaxis · deka-petaxis · hecta-petaxis
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Gugold — Throogol
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Saibian's Hyper-E numbers up to greagol

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