Grangol in zeroes
Grangol in towers
Grangol in E's
Grangol (short for "grand googol") is a number equal to a power tower of 100 tens topped with 100.[1][2]
It can be defined in Hyper-E notation as E100#100 = EEE...EEE100 (100 E's) = 1010...10100 (100 tens). The term was coined by Sbiis Saibian. It is also equal to E2#101.
Grangol is comparable to giggolunex, using hyper-operators.
Aarex Tiaokhiao calls this number powergol.[3]
Redstonepillager coined henodgulus for this number, and it's equal to E100{#,1(1)2}100 = E100{#}100 = E100#100 under a climbing interpretation of Hyper-Hyper-Extended Cascading-E Notation.[4]
Comparison with giggol[]
Grangol is close to and slightly larger than Jonathan Bowers' giggol = E1#100. It is comparable only from a googologist's perspective, however — it can be shown that:
\(\text{giggol}^{\text{giggol}}\)\( < \text{grangol}\)
so the two numbers are arithmetically extremely far apart. This concept is related to the power-tower paradox.
The proof is fairly straightforward. Since giggol = E1#100 and Ed#p = 10Ed#(p-1) it follows that:
\begin{eqnarray*} \text{giggol}^{\text{giggol}} &=& E1\#100^{E1\#100} = (10^{E1\#99})^{E1\#100} \\ &<& 10^{(E1\#100)^2} = 10^{10^{2E1\#99}} = E(2E1\#99)\#2 \\ &<& E(10E1\#99)\#2 = E(10\times10^{E1\#98})\#2 \\ &=& E(10^{1+E1\#98})\#2 = E(1+E1\#98)\#3 \\ &<& E(1+E1\#97)\#4 < \cdots < E(1+E1\#1)\#100 \\ &=& E(1+E1)\#100 = E11\#100 \\ &<& E100\#100 = \text{grangol} \end{eqnarray*}
Therefore, giggolgiggol can be given the following lower and upper bound:
\[E10\#100 < \text{giggol}^{\text{giggol}} < E11\#100\]
Approximations in other notations[]
| Notation | Approximation |
|---|---|
| Up-arrow notation | \(10 \uparrow\uparrow 101\) |
| Chained arrow notation | \(10 \rightarrow 101 \rightarrow 2\) |
| BEAF | \(\{10,101,2\}\) |
| Tetration | \(^{101}10\) |
| Cascading-E notation | E100#^#1 |
| Hyperfactorial array notation | \(104!1\) |
| Strong array notation | \(s(10,101,2)\) |
| Nested factorial notation | \(100![2]\) |
| Fast-growing hierarchy | \(f_3(100)\) |
| Hardy hierarchy | \(H_{\omega^3}(100)\) |
| Slow-growing hierarchy | \(g_{\varepsilon_0}(101)\) |
Sources[]
- ↑ Sbiis Saibian, Hyper-E Numbers
- ↑ Sbiis Saibian's Ultimate Large Numbers List
- ↑ Aarex Tiaokhiao's Large Numbers Site
- ↑ Redstonepillager. Rpillager Googology - xE^ numbers beyond godsgodgulus. Retrieved 2023-10-15.
See also[]
Originals: googol · googolplex
Cockburn's examples: gargoogolplex · fzgoogolplex · (mega)fugagoogolplex
Googol-n-plex: googolduplex · googoltriplex · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
Googol-103n-plex: googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex · -xennaplex · -vekaplex · -mekaplex · -googolaplex · -googolyriaplex
Bowers' extensions: giggol · gaggol · geegol · boogol · biggol · troogol · goobol · more...
Saibian's extensions: googol-minutia · googolchime · googoltoll · googolgong · grangol · greagol · gigangol · gugold · graatagold · gugolthra · throogol · godgahlah · tethrathoth · more...
Miscellany: googolbang (10100!) · googolminex (10^-10100) · googolteen · googolty · great googol(plex) · gooprol · little googol/googolbit · zootzootplex · googolyriad
Grangol—greagol series: grangol · grangolplex · grangolgong · googoldex · googoldexiplex · googoldexiduplex · ecetondex · googolplexidex · googolduplexidex · tria-taxis · grangoldex · grangoldexigong · ecetondudex · tetra-taxis · grangoldudex · grangoldudexigong · ecetontridex · penta-taxis · grangoltridex · grangoltridexigong · ecetonquadridex · hexa-taxis · grangolquadridex · grangolquadridexigong · ecetonquintidex · hepta-taxis · grangolquintidex · grangolquintidexigong · octa-taxis · enna-taxis · deka-taxis · hecta-taxis
Gigangol—gugold series: gigangol · gigangolgong · ecetontetrex · tria-exaxis · gigangoltetrex · gigangoltetrexigong · ecetondutetrex · tetra-exaxis · gigangoldutetrex · gigangoldutetrexigong · deka-exaxis · hecta-exaxis · gorgegol · gorgegolgong · ecetonpentex · tria-eptaxis · gorgegolpentex · gorgegolpentexigong · ecetondupentex · tetra-eptaxis · gorgegoldupentex · gorgegoldupentexigong · deka-eptaxis · hecta-eptaxis · gulgol · gulgolgong · ecetonhex · tria-octaxis · gulgolhex · gulgolhexigong · ecetonduhex · tetra-octaxis · gulgolduhex · gulgolduhexigong · deka-octaxis · hecta-octaxis · gaspgol · gaspgolgong · ecetonheptex · tria-ennaxis · gaspgolheptex · gaspgolheptexigong · ecetonduheptex · tetra-ennaxis · gaspgolduheptex · gaspgolduheptexigong · deka-ennaxis · hecta-ennaxis · ginorgol · ginorgolgong · ecetonoctex · tria-dekaxis · ginorgoloctex · ginorgoloctexigong · ecetonduoctex · tetra-dekaxis · ginorgolduoctex · ginorgolduoctexigong · deka-dekaxis · hecta-dekaxis · gargantuul · googondol · googoadol · goograndol · googreadol · googigandol · googorgedol · googuldol · googaspdol · googinordol · googarganduul · googonkosol · googontritol · googonsartol · googonpetol · googonextol · googoneptol · googonogdol · googonentol
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