不可达基数

不可达基数是不可数常规极限基数，如果\(\alpha\)是一个（强）不可达基数，\(\alpha\)必须：

• 不可数：\(\alpha\ge\omega_1\)。
• 常规：\(\alpha\)不能被小于\(\alpha\)的序数表示出来。
• 强极限：\(\alpha=\beth_\gamma\)（\(\gamma\)是极限序数）

其中\(\beth\)是这样定义的：

• \(\beth_0=\aleph_0\)
• \(\beth_{n+1}=2^{\beth_n}\)
• \(\beth_{\alpha}=\mathrm{sup}\{\beta<\alpha:\beth_\beta\}\)

如果我们把\(\beth\)换成\(\aleph\)，我们就会得到弱不可达基数。第n个不可达基数可以表示为\(I_n\)，第一个不可达基数还可以表示为\(I\)。

多元I函数

\(I(1,0)\)不是\(\alpha\mapsto I_\alpha\)的第一个不动点，第1+n个\(\alpha\mapsto I_\alpha\)不动点其实是\(\psi_{I(1,0)}(n)\)（定义不明）。\(I(1,0)\)和\(I_x\)的关系叫做“容许点”，我们可以把凡勃倫函數的“不动点”改成“容许点”，就能得到多元I函数了。