凡勃伦函数由美国数学家Oswald Veblen在他的文章 《有限和超有限序数的连续递增函数》中提出。[1]
二元凡勃伦函数[]
二元凡勃伦函数定义如下：
- \(\varphi_0(\gamma)=\omega^\gamma\)
- \(\varphi_\alpha(\gamma)\)是所有\(\varphi_\beta(\xi)\)的第\(1+\gamma\)个不动点，其中\(\beta<\alpha\)。
例子[]
- \(\varphi_1(0)=\varepsilon_0\)
- \(\varphi_2(0)=\zeta_0\)
扩展(有限)凡勃伦函数[]
首先，我们需要规定\(\varphi_\alpha(\gamma)=\varphi(\alpha,\gamma)\)。
定义：
- \(z\)是空序列、只有一个\(0\)的序列或由多个\(0\)组成的序列。
- \(s\)是空序列或第一项大于0的序列。
扩展凡勃伦函数的定义如下：[2]
- \(\varphi(\gamma)=\omega^\gamma\)
- \(\varphi(z,s,\gamma)=\varphi(s,\gamma)\)
- 如果\(\alpha>0\)，\(\varphi(s,\alpha,z,\gamma)\)等于第\(1+\gamma\)个函数\(\xi\mapsto\varphi(s,\beta,\xi,z)\)的不动点，对于任意\(\beta<\alpha\)。
超限凡勃伦函数[]
对于有序数个参数的凡勃伦函数，可以使用Schutte Klammersymbolen。它是一个两行的矩阵：\( \begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & ... & \alpha_n\\\beta_1 & \beta_2 & ... & \beta_n\end{pmatrix} \)。其中\(\beta_k\)定义的是\(\alpha_k\)的位置。
例如：\( \begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\8 & 5 & 0\end{pmatrix}=\varphi(\alpha_1,0,0,\alpha_2,0,0,0,0,\alpha_3) \)
因此小凡勃伦序可被写作\(\begin{pmatrix}1\\\omega\end{pmatrix}\)，大凡勃伦序可被写作\( \begin{pmatrix}1\\ \begin{pmatrix}1\\ \begin{pmatrix}1\\...\end{pmatrix}\end{pmatrix}\end{pmatrix} \)。
增长率分析[]
TREE函数的快速增长层级增长率约是\( \begin{pmatrix}\omega \\\omega\end{pmatrix} \)。