凡勃倫函數由美國數學家Oswald Veblen在他的文章 《有限和超有限序數的連續遞增函數》中提出。[1]
二元凡勃倫函數[]
二元凡勃倫函數定義如下：
- \(\varphi_0(\gamma)=\omega^\gamma\)
- \(\varphi_\alpha(\gamma)\)是所有\(\varphi_\beta(\xi)\)的第\(1+\gamma\)個不動點，其中\(\beta<\alpha\)。
例子[]
- \(\varphi_1(0)=\varepsilon_0\)
- \(\varphi_2(0)=\zeta_0\)
擴展(有限)凡勃倫函數[]
首先，我們需要規定\(\varphi_\alpha(\gamma)=\varphi(\alpha,\gamma)\)。
定義：
- \(z\)是空序列、只有一個\(0\)的序列或由多個\(0\)組成的序列。
- \(s\)是空序列或第一項大於0的序列。
擴展凡勃倫函數的定義如下：[2]
- \(\varphi(\gamma)=\omega^\gamma\)
- \(\varphi(z,s,\gamma)=\varphi(s,\gamma)\)
- 如果\(\alpha>0\)，\(\varphi(s,\alpha,z,\gamma)\)等於第\(1+\gamma\)個函數\(\xi\mapsto\varphi(s,\beta,\xi,z)\)的不動點，對於任意\(\beta<\alpha\)。
超限凡勃倫函數[]
對於有序數個參數的凡勃倫函數，可以使用Schutte Klammersymbolen。它是一個兩行的矩陣：\( \begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & ... & \alpha_n\\\beta_1 & \beta_2 & ... & \beta_n\end{pmatrix} \)。其中\(\beta_k\)定義的是\(\alpha_k\)的位置。
例如：\( \begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\8 & 5 & 0\end{pmatrix}=\varphi(\alpha_1,0,0,\alpha_2,0,0,0,0,\alpha_3) \)
因此小凡勃倫序可被寫作\(\begin{pmatrix}1\\\omega\end{pmatrix}\)，大凡勃倫序可被寫作\( \begin{pmatrix}1\\ \begin{pmatrix}1\\ \begin{pmatrix}1\\...\end{pmatrix}\end{pmatrix}\end{pmatrix} \)。
增長率分析[]
TREE函數的快速增長層級增長率約是\( \begin{pmatrix}\omega \\\omega\end{pmatrix} \)。