加法的图例。
加法是一个基本的二元运算符，写做\(a + b\)，读作“a加b”。它可以被非正式地定义为\(a\)个对象与\(b\)个对象组合时的对象总数。加法也可以被描述成两个互斥集合（假设两集合的基数为a和b）所形成的集合的基数，其中的\(a\)和\(b\)被称作加数，\(a + b\)的得数称为和。
在自然数上，加法可以用\(S(n)\)表示的重复的后继运算定义为:
\begin{eqnarray*} a+0 & = & a \\ a+S(b) & = & S(a+b) \end{eqnarray*}
在大数学中，它是第一个超运算符（即做超-1运算），并构成了所有后续超运算符的基础。
对于所有的自然数和实数，加法具有交换律：\(a + b = b + a\)；它也具有结合律：\((a + b) + c = a + (b + c)\)。重复的加法可以被称作乘法（即超-2运算）。
加法在序数上是不可交换的（对于任何极限序数）：\(1+\alpha = \alpha \neq \alpha+1\)。
零是加法运算的单位元素，也就是说，对于所有的自然数和实数\(n\)，\(0 + n = n\)。
在其它记号中[]
| 记号 | 表示 |
|---|---|
| 上箭號表示法 | \(a \uparrow^{-1} b\) |
| 快速增長層級 | \(f_0^b(a)\) |
| 哈代层级 | \(H_{b}(a)\) |
| 緩慢增長層級 | \(g_{\omega+b}(a)\) |
属性对算术的依赖[]
当我们使用ZFC时，交换性和结合性等加法性质仍然成立。在鲁滨逊算术中，交换性不一定成立。该公式\(\forall a,b \in \mathbb{N} : a + b = b + a\)与鲁滨逊算术无关。
图灵机代码[]
给定输入形式（a的1的字符串）+（b的1的字符串），它输出a+b的字符串。
0 1 _ r 1 0 + _ r halt 1 1 * r 1 1 + + r 2 2 1 * r 2 2 _ 1 l 3 3 1 * l 3 3 + * l 3 3 _ * r 0
时间复杂度[]
称\(a\)和\(b\)\((a, b \geq 0 | a, b \in N)\)作为第一个和第二个1的长度，\(T(a,b)\)作为返回图灵机中使用了多少步的函数。
\(T(a,b) = 2a^2 + 2ab + 3a + 1\)
空间复杂度[]
\(S(a,b)\)表示计算过程中最大使用了多少单元格。
\(S(a,b) = a + b + 1\)
使用符号[]
- 1
- +
- _