快速增長層級是函數的層級。用可算序數\(\alpha\)和基本列系 \begin{eqnarray*} [ \ ] \colon \{(\beta,n) \in \textrm{On} \times \mathbb{N} \mid \beta \leq \alpha \land \textrm{cof}(\beta) = \aleph_0\} & \to & \textrm{On} \\ (\beta,n) & \mapsto & \beta[n], \end{eqnarray*} 快速增長層級 \begin{eqnarray*} (\alpha+1) \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ (\beta,n) & \mapsto & f_{\beta}(n) \end{eqnarray*} 被定義為:
- 如果\(\beta = 0\)、\(f_{\beta}(n) = n + 1\)
- 如果\(\beta = \beta'+1\)對於某些\(\beta' \in \textrm{On}\)、\(f_{\beta}(n) = f^n_{\beta'}(n)\)
- 如果\(\beta\)是極限序號、\(f_{\beta}(n) = f_{\beta[n]}(n)\)
示例
警告：讀者應注意互聯網上對快速增長層級的許多解釋是不准確的。如果網頁在沒有固定基本列系的情況下引用快速增長層級的近似值或比較，請懷疑結果。（參考：en:fast-growing hierarchy#Warning） \begin{eqnarray*} f_0(n) &=& n + 1 \\ f_1(n) &=& f_0^n(n) = ( \cdots ((n + 1) + 1) + \cdots + 1) = n + n = 2n \\ f_2(n) &=& f_1^n(n) = 2(2(\ldots 2(2n))) = 2^n n > 2^n \end{eqnarray*}