快速增长层级（FGH）是函数的层级（还有一个函数的层级：缓慢增长的层次结构）。用可算序数\(\alpha\)和基本列系 \begin{eqnarray*} [ \ ] \colon \{(\beta,n) \in \textrm{On} \times \mathbb{N} \mid \beta \leq \alpha \land \textrm{cof}(\beta) = \aleph_0\} & \to & \textrm{On} \\ (\beta,n) & \mapsto & \beta[n], \end{eqnarray*} 快速增长层级 \begin{eqnarray*} (\alpha+1) \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ (\beta,n) & \mapsto & f_{\beta}(n) \end{eqnarray*} 被定义为:
- 如果\(\beta = 0\)、\(f_{\beta}(n) = n + 1\)
- 如果\(\beta = \beta'+1\)对于某些\(\beta' \in \textrm{On}\)、\(f_{\beta}(n) = f^n_{\beta'}(n)\)
- 如果\(\beta\)是极限序号、\(f_{\beta}(n) = f_{\beta[n]}(n)\)
更加易懂的解释[]
第二条的解释可能不易懂，但是：
\(f_{\beta+1}(n)=f_\beta^n(n)\)
示例[]
警告：读者应注意互联网上对快速增长层级的许多解释是不准确的。如果网页在没有固定基本列系的情况下引用快速增长层级的近似值或比较，请怀疑结果。（参考：en:fast-growing hierarchy#Warning）例如、如果你发现著者写"\(f_{\omega}(n) = f_n(n)\)"但没有固定基本列系、请注意著者不理解快速增长层级的精确定义。 \begin{eqnarray*} f_0(n) &=& n + 1 \\ f_1(n) &=& f_0^n(n) = ( \cdots ((n + 1) + 1) + \cdots + 1) = n + n = 2n \\ f_2(n) &=& f_1^n(n) = 2(2(\ldots 2(2n))) = 2^n n > 2^n \end{eqnarray*}