大數學 维基
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在上一部分里,我主要介绍了LMN的规则,在这一部分,我将举一些关于LMN的例子,使得规则变得更容易理解;

Up to ε_0

首先是最简单的情况,这个记号里只使用了p这一个函数:这里我用α[n]来表示Hardy hierarchy.

p(0)[n]=n+1,p(0)代表的序数是1.

p(0)+p(0)=n+2

p(0)+p(0)…+p(0)[n]=p(p(0))[n]=n*2

p(p(0))+p(p(0))…+p(p(0))[n]=p(p(0)+p(0))[n]=n2

p(p(0)*3)[n]≈nⁿ

p(p(0)+p(0)…+p(0))[n]=p(p(p(0)))[n]≈n↑ⁿn

葛立恒数<p(p(p(0))+p(0)+p(0))[2]

p(p(p(0)+p(0)))[n]≈n→n→…→n

p(p(p(0)*3))[n]≈n→ₙn

p(p(p(p(0))))[n]≈{n,n,…,n}线性BAN

p(p(…p(p(0))))[n]≈H_{ε_0}(n)

这和Buchholz's OCF很相似.

Up to ψ(Ω_ω)

对于只含有p1(0)和p的表达式,我们定义如下展开方式:

最里面的p1(0)找到最里面的p(.)层,组合成一个项A.对于更外面的p(.)层,在去掉A的位置填入p1(0)得到一个项B.然后对比A和B的大小,如果B<A就要补层(补层时直到满足B=A时停止)B>A就跳过这层,继续向外寻找合适的层.若B=A就把A替换成找到的那个层及它的包含的东西,替换n次.

p(p1(0))

A=p(p1(0)),B不存在,需要补层:p(p(p1(0))),此时整个表达式去掉A后就是p(.),填入p1(0)后得到p(p1(0)),因为A=B=p(p1(0)),所以直接迭代B,=p(p(…p(p(0))))=ε_0.

p(p(p1(0))+p(p1(0)))

A=p(p1(0)),B在整个式子去掉A后就是p(p(p1(0))+p1(0)),因为p(p1(0))<p1(0),所以删除p(p1(0)),得到p(p1(0)).此时A=B=p(p1(0)).p(p(p1(0))+p(p1(0)))=p(p(p1(0))+p(p(p1(0))+…p(p(p1(0)))))=ε_1

p(p1(0)+p(p1(0)))

A=p(p1(0)),B=p(p1(0)+p1(0)).因为B过大,所以需要向外补层=p(p(p1(0)+p(p1(0)))),此时B=p(p1(0)),直接迭代.

p(p1(0)+p(p1(0)))=p(p(p1(0)+p(p(p1(0)+…p(p(p1(0)))))))=ζ_0

p(p1(0)+p1(0))=p(p1(0)+p(p1(0)+p1(0)))=p(p1(0)+p(p1(0)+…p(p1(0))))=ψ(ε_{Ω+1})

在不出现大于p1(0)的序数时,极限p(p1(0)+p1(0)…+p1(0))=ψ(Ω_ω)

Up to PTO(KP+∏ₙ-Ref)

接下来考虑大于p1(0)的序数,p(p1(p(0)))根据规则,展开成p(p1(0)+p1(0)…+p1(0))=ψ(Ω_ω)

p(p1(p(0))+p1(0))=p(p1(p(0))+p(p1(p(0))+…p(p1(p(0)))))=TFB

p(p1(p(p(p1(0)))))=ψ(Ω_{ε_0})

p(p1(p(p1(0))))=p(p(p1(p(p1(0)))))=p(p(p1(p(p(p1(…p(p(p1(0)))))))))=ψ(Ω_Ω)

p(p1(p1(0)))=p(p1(p(p1(p1(0)))))=p(p1(p(p1(…p(p1(0))))))=ψ(ψ_I(0))

p(p1(p(p1(p1(0))))+p1(p(p1(p1(0)))))

A=p(p1(p1(0))),B=p(p1(p(p1(p1(0))))+p1(p1(0))))=p(p1(p1(0)))

p(p1(p(p1(p1(0))))+p1(p(p1(p1(0)))))=p(p1(p(p1(p1(0))))+p1(p(p1(p(p1(p1(0))))+p1(…p(p1(p(p1(p1(0))))+p1(0))))))=ψ(ψ_I(1))

p(p1(p1(p(p1(0)))))

需要补层成p(p(p1(p1(p(p1(0)))))),此时A=B=p(p1(0))

p(p(p1(p1(p(p1(0))))))=p(p(p1(p1(p(p(p1(p1(…p(p(p1(p1(0))))))))))))

到现在为止,我们到达了p(p1(p1(…p1(p1(0))))),也是SAN中pDAN所能达到的极限.




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