大數學 维基
Advertisement

葛立恆數(英語:Graham's number)由羅納德·葛立恆所創造,是一個相當有名的大數,常被認為是「數學證明中出現過最大的數」,的確有一段時間是這樣,但現在已經不是了。現在數學證明中出現的許多數,如TREE(3)SCG(13)都比葛立恆數大很多。

它可以使用上箭號表示法來定義:

\begin{eqnarray*} g_0 &=& 4 \\ g_1 &=& 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 \\ g_2 &=& 3 \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{g_1 \text{ 個箭號}} 3 \\ g_{k + 1} &=& 3 \underbrace{\uparrow\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow\uparrow}_{g_k \text{ 個箭號}} 3 \ \ (\forall k \in \mathbb{N})\\ g_{64} &=& \text{葛立恆數} \end{eqnarray*}

近似

由於\(g_0\)是4而不是3,使用鏈式箭號表示法BEAF都無法準確表達,然而還是可以給出近似值:

\(3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2 < g_{64} < 3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2\) (鏈式箭號表示法)

\(\{3,65,1,2\} < g_{64} << \{3,66,1,2\}\) (BEAF)

\(g_{64} = \underbrace{3 \uparrow^{3 \uparrow^{3 \uparrow^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}\cdot}\cdot}\cdot}3}3}3}_{64\text{ layers}} = \left. 3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}_{\displaystyle 3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow}_{\displaystyle \underbrace{\qquad \vdots \qquad}_{\displaystyle 3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \uparrow}_{\displaystyle 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}3}}3}3 \right \} 64 \text{ layers}\)

Advertisement