超運算

超運算是二元運算加法、乘法、冪次以及一元運算後繼的擴展。由於乘法是乘法是重複加法的簡便運算，冪次是重複乘法的簡便運算，那麼自然就可以繼續用這個方法擴展——例如，超-4運算即迭代冪次就是重複冪次的簡便運算。Reuben Goodstein為超4-運算以後的超運算命名。 當超運算的基數為正數時，每個超運算都比更低一級的超運算產生的數大得多；由於超運算可以產生極大的數，它常常在大數學中被運用。

基礎定義

當我們寫下「\(a\times b\)」時，我們表示的是b個a相加：

\[a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a + a}_b\]

例如 \(4\times 3 = 4 + 4 + 4\)。

當我們寫下「\(a^b\)」時，我們表示的是b個a相乘：

\[a^b = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a \times a}_b\]

例如 \(4^3 = 4\times 4\times 4\)。基礎數學運算就到這裏了。

但是我們仍然可以繼續用這個方法創造更高級的運算。我們可以定義一種新函數，「\(^{b}a\)」，稱作迭代冪次。

\[^ba = \underbrace{a^{a^{a^{.^{.^.}}}}}_b\]

迭代冪次擁有右結合律，也就是要從右上向左下計算(這樣就會算出更大的結果)。但由於迭代冪次在數學中並不常用，它的表示方法目前還沒有一個標準。

用這個方法繼續下去，可以得到超-5運算，就是重複迭代冪次的簡便運算；再繼續下去，可以得到超-6運算，就是重複超-5運算的簡便運算；接下來是超-7運算，就是重複超-6運算的簡便運算，等等。