超階乘數陣記號(英語:Hyperfactorial array notation,縮寫HAN)是由Lawrence Hollom發明的大數記號。[1]它於2013年4月發佈。另外,Hollom也開發了它的修訂版——階乘數陣記號(FAN)。[2]
基礎[]
我們需要定義數陣。數陣由0個或多個項組成。每個項可以是正整數或是另個數陣。一個有效數陣的例子是:
- [1,1,[1,2,[3],4,[],1,1],1,3,10,1,[4,[4,3,1],5,6],1,[1,2],1,1]
接著,定義以下符號:
- \(n!m = n\uparrow^{m}(n-1)\uparrow^{m}(n-2)\cdots 4\uparrow^{m} 3 \uparrow^{m} 2 \uparrow^{m} 1\)
超階乘數陣記號形如\(n!A\),其中\(A\)是數陣。超階乘數陣記號的一個良好格式如\(5![6, [7, 8], 9]\)。
線性數陣[]
定義活動項是首項後第一個非1項。這類似BEAF的駕駛員。
- 數陣結尾的1可以去掉:
- \([@, 1] = [@]\)
- 空數陣可以簡單替換為n:
- \([] = n\)
- 如果首項是數字\(k>1\):
- \(f(a) = a![k-1,@]\)
- \(n![k,@] = f^n(n)\)
- 否則:
- \(n![1,1,\cdots,1,1,[[...[[k @]]...]],@]\)
- \( = n![1,1,\cdots,1,[1,1,\cdots,1,1,[[...[[1 @]]...]],@],[[...[[k-1 @]]...]],@]\)
\(@\)表示數陣的其他部份。
分析[]
超階乘數陣記號的增長速度尚未達成共識。Hollom認為它達到了塔克第-費佛曼-布克霍爾茲序。