链式箭号表示法

链式箭号表示法
类型	线性数阵
基于	超运算
增长率	\(f_{\omega^2}(n)\)

链式箭号表示法（英语：Chained arrow notation），是康威及盖伊将上箭号表示法推广之后而成的箭号表示法。鸟的证明中说明，乔纳森·鲍尔斯的数阵记号所表示的值通常比链式箭号表示法来得大。

Nathan Ho和Wojowu表明链式箭号表示法会终止；也就是说，对于所有输入，都会有一个对应的输出。

定义

1. \(a \rightarrow b = a^{b}\)
2. \(a \rightarrow b \rightarrow c = a\underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}_cb\)（即为上箭号表示法）
3. \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)（当最后一项为1时，可以直接忽略）
4. \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
5. \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)

例子

以下是链式箭号的一些小例子：

\(3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 3\uparrow\uparrow3 = 7,625,597,484,987\)

\(3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2\)

\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2) \rightarrow 1\)

\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2)\)

\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3)\)

\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3^{3})\)

\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow 27\)

\(= 3 \underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}_{27} 3 \)

CG函数

康威及盖伊使用链式箭号创造了类似阿克曼数的函数，即\(cg(n) = \underbrace{n \rightarrow n \rightarrow \ldots \rightarrow n \rightarrow n}_n\)。虽然在n等于1至3时都与阿克曼数相同，但\(cg(4) = 4\rightarrow 4\rightarrow 4\rightarrow 4 > \lbrace 4,4,3,2 \rbrace\)（使用鸟的证明），因此cg(4)远远大于葛立恒数，更远远大于第四个阿克曼数特利德特。

这个函数的增长率为\(f_{\omega^2}(n)\)，相当于BEAF的4项数阵。

Peter Hurford的扩展

Peter Hurford扩展了链式箭号，并加入下述规则：

\(a \rightarrow_c b = \underbrace{a \rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}\ldots\rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}a}_{b \rightarrow_{c-1}'s}\)

所有其他规则保持不变。因此，它适用于无下标的情况。注意，\(3 \rightarrow_{2} 3 \rightarrow 3\)是非法的，整个表达式的右箭号必须为单一形式。此外，Hurford表明\(f(n) = n \rightarrow_n n\)相当于\(f_{\omega^3}(n)\)（快速增长阶层）。如果我们允许表达式混合不同形式的右箭号，增长率可提升为\(f(n) \approx f_{\omega^\omega}(n)\)。

此外，他还定义了C(n)：

\(C(a) = a \rightarrow_a a\)

\(C(a,1) = a \rightarrow_{C(a)} a\)

\(C(a,b) = a \rightarrow_{C(a,b-1)} a\)

\(C(a,1,1) = C(a,C(a,a))\)

\(C(a,b,1) = C(a,C(a,b-1,1))\)

\(C(a,1,c) = C(a,C(a,a,c-1),c-1)\)

\(C(a,b,c) = C(a,C(a,b-1,c),c-1)\)

函数\(f(n) = C(n,n,n)\)和\(f_{\omega^3 + \omega}(n)\)（快速增长阶层）的增长率相当。