鳥數

鳥數（英語：Bird's number）由克里斯·鳥使用他的老擴展數陣記號所定義。它有另個使用旋轉鏈式箭號的定義。

旋轉箭頭記號

旋轉箭頭記號是鏈式箭號表示法的擴展。使用它所定義的鳥數約相當於\(f_{\omega^3+\omega+2}(3)\)。

鳥的老數陣記號

截至嵌套數陣，鳥的老數陣記號與新數陣記號幾乎相同。

在這之後，鳥使用否定符號（由於英國鍵盤可直接打出它）來擴展他的記號。舊分隔符\([1\neg2]\)與新的[1\2]和[1/2]相同。舊分隔符\([1\neg3]\)與新的[1\3]和[1/3]相同。一般來說，對於任意數陣A來說，舊分隔符\([1\neg\text{A}]\)與[1\A]和[1/A]相同。事實上，舊分隔符\([1\neg1\neg2]\)與新的[1\1\2]有相同的水平，而舊分隔符[[2]]對角化否定符號正如[2]對角化逗號，因此它與新的分隔符\([1[2\neg2]2]\)相同。

一般情況下，[[...[[A]]...]]（n個括號）與新分隔符\([1[A\neg n]2]\)相同。而< >符號則是對應於這些數陣的尖括號。

鳥數

我們定義

\(N = \{\underbrace{3<<<...<<<3>>>...>>>3}_{\{3<<<<<<<3>>>>>>>3\}}\}\)

\(\text{X}(0) = N\)

\(\text{X}(n) = \{\underbrace{3<<<...<<<3>>>...>>>3}_{\text{X}(n-1)}\}\)

鳥數是\(\underbrace{\text{X}(\text{X}(...\text{X}(\text{X}(N))...))}_{\text{X}(N)}\)

其他符號的近似值

符號	近似
BEAF	\(\{7,\{7,\{7,\{7,7(X,X(1)2)2\}(X,X(1)2)2\},2(X,X(1)2)2\},3(X,X(1)2)2\}\)
超階乘數陣記號	\(7![1([1])2]![1([1])2]![2([1])2]![3([1])2]\)
快速增長階層	\(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})+2}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})+1}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})}(7))))\)
哈代階層	\(H_{\vartheta(\Omega^{\omega})(\omega^2+\omega+2)}(7)\)
慢速增長階層	\(f_{\vartheta(\Omega_2^{\Omega}+1)}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\Omega})}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\omega})}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\omega})}(7))))\)