鸟数

鸟数（英语：Bird's number）由克里斯·鸟使用他的老扩展数阵记号所定义。它有另个使用旋转链式箭号的定义。

旋转箭头记号

旋转箭头记号是链式箭号表示法的扩展。使用它所定义的鸟数约相当于\(f_{\omega^3+\omega+2}(3)\)。

鸟的老数阵记号

截至嵌套数阵，鸟的老数阵记号与新数阵记号几乎相同。

在这之后，鸟使用否定符号（由于英国键盘可直接打出它）来扩展他的记号。旧分隔符\([1\neg2]\)与新的[1\2]和[1/2]相同。旧分隔符\([1\neg3]\)与新的[1\3]和[1/3]相同。一般来说，对于任意数阵A来说，旧分隔符\([1\neg\text{A}]\)与[1\A]和[1/A]相同。事实上，旧分隔符\([1\neg1\neg2]\)与新的[1\1\2]有相同的水平，而旧分隔符[[2]]对角化否定符号正如[2]对角化逗号，因此它与新的分隔符\([1[2\neg2]2]\)相同。

一般情况下，[[...[[A]]...]]（n个括号）与新分隔符\([1[A\neg n]2]\)相同。而< >符号则是对应于这些数阵的尖括号。

鸟数

我们定义

\(N = \{\underbrace{3<<<...<<<3>>>...>>>3}_{\{3<<<<<<<3>>>>>>>3\}}\}\)

\(\text{X}(0) = N\)

\(\text{X}(n) = \{\underbrace{3<<<...<<<3>>>...>>>3}_{\text{X}(n-1)}\}\)

鸟数是\(\underbrace{\text{X}(\text{X}(...\text{X}(\text{X}(N))...))}_{\text{X}(N)}\)

其他符号的近似值

符号	近似
BEAF	\(\{7,\{7,\{7,\{7,7(X,X(1)2)2\}(X,X(1)2)2\},2(X,X(1)2)2\},3(X,X(1)2)2\}\)
超阶乘数阵记号	\(7![1([1])2]![1([1])2]![2([1])2]![3([1])2]\)
快速增长阶层	\(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})+2}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})+1}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})}(7))))\)
哈代阶层	\(H_{\vartheta(\Omega^{\omega})(\omega^2+\omega+2)}(7)\)
慢速增长阶层	\(f_{\vartheta(\Omega_2^{\Omega}+1)}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\Omega})}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\omega})}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\omega})}(7))))\)