定义[]
初始定义[]
Chris Bird 设计了这样的数阵表示法,它和 BEAF 很像,但比 BEAF 更强大, 而且不像 BEAF 那样具有容易误解的地方(&的使用,"LLL"和"L,L,L"的区别等). 这种表示法称作 Bird's Array Notation,这里我们称作"鸟之记号"在鸟之记号中,分隔符内的数字至少是 1(而不 像 BEAF 中是 0),逗号是分隔符[1]的缩写,分隔符由低级到高级依次是逗号, [2],[3]...[1,2],[2,2]...[1,3]...[1,4]...[m,n],[1,1,2],[2,1,2]...[1,2,2],[2,2,2]... [1,3,2]...[1,4,2]...[1,1,3]...[m,n,3],[1,1,4]...[m,n,q]...[1,1,1,2]...[m,n,q,r]... [1[2]2],[2[2]2]...[1,2[2]2]...[1[2]3],[2[2]3]...[1[2]4]...[1[2]1,2]...[1[2]m,n]... [1[2]1[2]2]...[1[3]2]...[m,n[2]q,r[3]2]...[1[3]3]...[1[3]1[3]2]...[1[4]2]... [1[1,2]2]...[3[5]4[1,2]2]...[1[1,2]1[1,2]2]...[1[2,2]2]...[1[m,n]2]...[1[1,1,2]2]... [1[1,1,1,2]2]...[1[1[2]2]2]...[1[1[3]2]2]...[1[1[1,2]2]2]...鸟之记号的运算遵循
下面的规则(按 M1、M2、M3 的顺序执行): M1.如果指数 p 为 1,那么数阵的值为底数 b M2.如果没有驾驶员,那么数阵的值为 bp M3.把驾驶员减 1,把副驾驶(如果有的话)变成"整个数阵把指数减去 1 之后的值",乘客中 以分隔符[A]分隔的部分全都变成 b<A'>p(其中 A'除了第一个数比 A 小 1 外,其它部分与 A 相同)
规则 M3 中出现了尖角括号"<>",它是一个有拼接属性的二元算子,它的应用
规则如下.(其中#表示任意的分隔符、数字序列或空序列) A1.b<0>p=b A2.b<n+1#>p=b<n #>p[n+1#]b<n #>p[n+1#]......b<n #>p[n+1#]b<n #>p(p 个"b<n#>p")
"<>"算子中,第一个数为 0 称作默认值,其它数为 1 称作默认值(在[]中只有 1 是默认值).我们把算子中第一个不是默认值的数称作算子驾驶员,把算子驾驶 员前面的所有东西称作算子乘客(注意,没有"算子副驾驶"这种东西).如下面的 算子中,红字为算子驾驶员,蓝字为算子乘客.
<0,1,2,3> <1,2,3,4,2,1> <0[2,3]1[1,2]1[1,2]1[5]1,2,1,2> 现在,算子的规则 A1 可以认为是在"没有算子驾驶员"的情况下执行的,而规
则 A2 可以认为是在"没有算子乘客"的情况下执行的,而有算子乘客的情况下,
我们执行规则 A3. A3.把算子驾驶员减 1,算子乘客中以分隔符[A]分隔的部分全都变成 p<A'>p(其中 A'除 了第一个数比 A 小 1 外,其它部分与 A 相同)
鸟之记号有下面的性质: 性质 1
性质 2 性质 3
{A[M]1[N]B}={A[M]B}(等级[M]<[N]) <A[M]1[N]B>=<A[M]B>(等级[M]<[N]) {a,b,c}=a↑cb=a→b→c
性质 4(Bird's Proof)
对任意 a≥3,b≥2,d≥2,{a,b,c,d}>a→a→...a→(b-1)→(c+1)(d 个"a")
{a,b,c,d}<a→a→...a→b→(c+1)(d 个"a")
实际上,如果是线性的一行数阵,鸟之记号与 BEAF 实际上是完全相同的,这
也是性质 3 和 4 的一个来由.现在我们用几个例子说明上面的规则. "b<1>p"="b<0>p[1]b<0>p[1]...b<0>p[1]b<0>p"(p 个"b<0>p")
="b,b,...b,b"(p 个"b"),这意味着 b<1>p 和 p&b 是等效的. "b<2>p"="b<1>p[2]b<1>p[2]...b<1>p[2]b<1>p"(p 个"b<0>p")
="b,b,...b,b[2]b,b,...b,b[2]......b,b,...b,b[2]b,b,...b,b"(p2 个"b")
这意味着 b<2>p 和 p2&b 是等效的,[2]和(1)是等效的. 我们不难得出,"b<n>p"和 pn&b 是等效的,[n+1]和(n)是等效的
举例：
{3,2,2[2]2}={3,{3,1,2[2]2},1[2]2}={3,3[2]2}={3<1>3[2]1}={3,3,3}=tritri {3,3,2[2]2}={3,{3,2,2[2]2},1[2]2}={3,tritri[2]2}={3<1>tritri[2]1}={3,3,...3,3}(tritri 个"3")=dupertri {3,2,2[1,2]2}={3,{3,1,2[1,2]2},1[1,2]2}={3,3[1,2]2}={3<0,2>3[1,2]1}={3<3,1>3} ={3<3>3}={3,3,3[2]3,3,3[2]3,3,3[3]3,3,3[2]3,3,3[2]3,3,3[3]3,3,3[2]3,3,3[2]3,3,3} =dimentri {4,3[1,2]2}={4‹0,2›3[1,2]1}={4<3›3}
={4‹2›3[3]4‹2›3[3]4‹2›3} ={4,4,4[2]4,4,4[2]4,4,4[3]4,4,4[2]4,4,4[2]4,4,4[3]4,4,4[2]4,4,4[2]4,4,4} ={A}
{4,3[3,2]2}={4<2,2>3[3,2]1}={4<1,2>3[2,2]4<1,2>3[2,2]4<1,2>3} ={A[1,2]A[1,2]A[2,2]A[1,2]A[1,2]A[2,2]A[1,2]A[1,2]A}={B}
{4,3[1,3]2}={4<0,3>3}={4<3,2>3}={4<2,2>3[3,2]4<2,2>3[3,2]4<2,2>3} ={B[3,2]B[3,2]B}={C}
{4,3[3,3]2}={4<2,3>3}={4<1,3>3[2,3]4<1,3>3[2,3]4<1,3>3} ={C[1,3]C[1,3]C[2,3]C[1,3]C[1,3]C[2,3]C[1,3]C[1,3]C}={D}
{4,3[1,1,2]2}={4<0,1,2>3}={4<3,3,1>3}={4<3,3>3} ={4<2,3>3[3,3]4<2,3>3[3,3]4<2,3>3}
={D[3,3]D[3,3]D}={E}