ω

ω是最小的超限序数。对ω来说，任何有限数字都是微不足道的。

ω并不是最大的符号，ε₀就比ω大的多。但是带下标的ω表示Aleph基数对应的序数，比如ω₁比任何可数序数都大。

超限序数数轴

0-1-2-3-...

ω-ω+1-ω+2......

ω2-ω3-ω4......

ω^2-ω^3-ω^4......

ω^ω-ω^ω^ω......

最后是ε₀，可以理解为ω^^ω。它是Wainer级数和康托标准形式的表示极限。

集合论

我们设下列几条规则：

• $0 := \{\}$
• $1 := \{0\} \cup 0 = \{0\}$
• $n+1 := \{n\}\cup n$
• $\omega = \mathbb{N} := \bigcap \{N \mid \{\} \in N \land \forall n \in N[n \cup \{n\} \in N]\}$

第三条规则定义了\(\omega = \mathbb{N}\)，\(\omega\)就是\(\mathbb{N}\)的基数\(\textrm{card}(\mathbb{N})\)。

参见

• http://cantorsattic.info/Omega

集合论与序分析

基础： 基数 · 普通函数 · 序符号 · 序数
理论： Presburger arithmetic · 皮亚诺算术 · 二阶算术 · ZFC
可数序： \(\omega\) · \(\varepsilon_0\) · \(\zeta_0\) · \(\eta_0\) ·\(\Gamma_0\) · \(\varphi(1,0,0,0)\)（阿克曼序） · \(\psi_0(\Omega^{\Omega^{\omega}})\)（小凡勃伦序） · \(\psi_0(\Omega^{\Omega^{\Omega}})\)（大凡勃伦序） · \(\psi_0(\varepsilon_{\Omega + 1}) = \psi_0(\Omega_2)\)（巴赫曼-霍华德序） · \(\psi_0(\Omega_{\omega})\)（用布赫霍尔茨的\(\psi\)函数） · \(\psi_0(\varepsilon_{\Omega_\omega + 1})\)（塔克第-费佛曼-布克霍尔兹序） · \(\omega_1^\mathfrak{Ch}\) · \(\omega_1^\text{CK}\)（丘奇-克莱尼序） · \(\lambda,\zeta,\Sigma,\gamma\)
非可数基数: \(\omega_1\) · omega fixed point · inaccessible cardinal \(I\) · Mahlo cardinal \(M\) · weakly compact cardinal \(K\) · indescribable cardinal · rank-into-rank cardinal